إصلاح التباعد التكاملي في القيمة المعرضة للخطر لتوزيع Weibull العكسي (TVaR)

فهم التباعد التكاملي في حساب TVaR

تعد القيمة المعرضة للخطر (TVaR) مقياسًا بالغ الأهمية في إدارة المخاطر، خاصة في سياق نمذجة الأحداث المتطرفة. ومع ذلك، عند استخدام توزيعات مثل Inverse Weibull، قد يؤدي حساب TVaR في بعض الأحيان إلى مشكلات معقدة، مثل التباعد التكاملي.

في هذه المقالة، نستكشف مشكلة معينة تمت مواجهتها عند حساب TVaR لتوزيع Weibull المعكوس. تنشأ هذه المشكلة أثناء عملية التكامل، ويمكن أن تؤدي إلى أخطاء تشير إلى أن التكامل قد يكون متباعدًا.

على الرغم من محاولات ضبط المعلمات، مثل زيادة عدد التقسيمات الفرعية في التكامل، يستمر الخطأ. إن فهم سبب حدوث ذلك وكيفية تصحيحه أمر ضروري لأي شخص يعمل مع التوزيعات الثقيلة في العلوم الاكتوارية أو تحليل المخاطر المالية.

سنتعرف على المشكلة، ونحدد الأسباب المحتملة للاختلاف المتكامل، ونقدم اقتراحات حول كيفية حل هذه المشكلة بشكل فعال. بحلول نهاية هذه المقالة، سوف تكون مجهزًا باستراتيجيات عملية للتغلب على التحديات المماثلة في حسابات TVaR.

حل مشكلات حساب TVaR في توزيع Weibull العكسي

تركز البرامج النصية التي تم إنشاؤها أعلاه على حساب قيمة الذيل المعرضة للخطر (TVaR) لتوزيع Weibull العكسي. يتم استخدام TVaR لتقدير الخسارة المتوقعة في الأحداث المتطرفة، مما يجعله مقياسًا بالغ الأهمية في إدارة المخاطر، خاصة في مجالات مثل التأمين والتمويل. يستخدم البرنامج النصي الأول التكامل الرقمي التقليدي لحساب TVaR، الأمر الذي يؤدي للأسف إلى خطأ بسبب التباعد التكاملي. يحدث هذا لأن تكامل التوزيع الذيل قد يصبح غير محدود، خاصة عند التعامل مع التوزيعات ذات الذيل الثقيل مثل معكوس ويبل.

أحد الأوامر الرئيسية في هذه العملية هو دمج() الدالة التي تقوم بالتكامل العددي على ذيل التوزيع. وينشأ الخطأ عندما يمتد التكامل إلى ما لا نهاية، وهنا تكمن المشكلة. للتخفيف من ذلك، نحاول ربط التكامل باستخدام الكميات المشتقة من توزيع Weibull العكسي. أوامر مثل كينفيويبول() تساعدنا في هذا الصدد من خلال السماح لنا بحساب القيمة المعرضة للخطر (VaR) على مستويات ثقة مختلفة (على سبيل المثال، 70%، 80%، 90%). باستخدام هذه الكميات، نهدف إلى التحكم في نطاق التكامل وتقليل التباعد.

النهج الثاني يأخذ طريقا مختلفا باستخدام محاكاة مونت كارلو. فبدلاً من الاعتماد على التكامل التحليلي، فإنه يحاكي آلاف القيم العشوائية من توزيع ويبل العكسي باستخدام طريقة رينفويبول() يأمر. تتحايل هذه الطريقة على مشكلة التباعد المتكامل عن طريق توليد بيانات تجريبية وحساب TVaR على أساس متوسط ​​الخسارة فوق عتبة VaR. يعد هذا مفيدًا بشكل خاص عند التعامل مع التوزيعات التي يصعب دمجها تحليليًا، حيث أنها توفر بديلاً أكثر مرونة، وإن كان مكثفًا من الناحية الحسابية.

ولضمان متانة هذه الأساليب، يتم أيضًا تنفيذ اختبار الوحدة. ال test_that() وظيفة من com.testthat تم استخدام الحزمة للتحقق من صحة نتائج محاكاة مونت كارلو. ومن خلال إجراء هذه الاختبارات، نتحقق من أن قيم TVaR المحاكاة منطقية وغير سلبية. وتساعد عملية الاختبار هذه على ضمان أن الحلول لا تعمل بشكل صحيح من الناحية النظرية فحسب، بل إنها تنتج أيضًا نتائج صالحة عبر بيئات مختلفة. هذا النهج يجعل البرامج النصية معيارية وقابلة لإعادة الاستخدام لحسابات المخاطر المماثلة في سياقات أخرى.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

معالجة تحديات حساب TVaR للتوزيعات الثقيلة

عند حساب قيمة الذيل المعرضة للخطر (TVaR) للتوزيعات ذات الذيل الثقيل، مثل Inverse Weibull، يتمثل أحد التحديات الرئيسية في التعامل مع سلوك التوزيع في ذيله الشديد. هذا هو المكان الذي يمكن أن يحدث فيه الاختلاف التكاملي، مما يؤدي إلى مشكلات حسابية. ينبع أحد الجوانب الأساسية لهذه المشكلة من كيفية تصرف الذيل عند الكميات العالية جدًا، حيث يمكن أن تؤدي الاختلافات الصغيرة في المعلمات إلى اختلافات كبيرة في مقياس المخاطر المحسوب. إن فهم كيفية إدارة هذه الحالات المتطرفة أمر بالغ الأهمية لضمان إجراء تقييمات دقيقة للمخاطر.

هناك عامل آخر ذو صلة يجب مراعاته عند العمل مع حسابات TVaR وهو طريقة التعامل مع الحدود العليا اللانهائية أثناء التكامل. من الناحية العملية، تضع العديد من تطبيقات إدارة المخاطر حدًا أعلى كبيرًا، ولكنه محدود، لتجنب مشكلات الاختلاف. يساعد هذا الأسلوب في التحكم في العمليات الحسابية، خاصة في المواقف التي قد يكون من الصعب فيها استخلاص حلول رياضية دقيقة. تسمح طرق مثل تحديد التكامل أو تطبيق محاكاة مونت كارلو بالحصول على نتائج أكثر استقرارًا مع الاستمرار في التقاط جوهر المخاطرة في الذيل.

تعد عمليات محاكاة مونت كارلو، كما تمت مناقشتها في الحلول السابقة، بديلاً ممتازًا للتغلب على مخاطر التكامل المباشر. من خلال توليد مجموعة كبيرة من العينات العشوائية من توزيع Inverse Weibull، يمكنك تقدير الخسائر المتوقعة بشكل تجريبي. يتسم هذا النهج بالمرونة العالية ويتجنب الحاجة إلى التكامل الرياضي المعقد، مما يجعله أسلوبًا مفضلاً عند العمل مع التوزيعات التي تفشل فيها الطرق التقليدية. إنها مفيدة بشكل خاص للبيانات الثقيلة، حيث قد يكون من الصعب التنبؤ بسلوك الأحداث المتطرفة باستخدام النماذج القياسية.