ইনভার্স ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশনের টেইল ভ্যালু অ্যাট রিস্কে ইন্টিগ্রাল ডাইভারজেন্স ঠিক করা (TVaR)

TVaR ক্যালকুলেশনে ইন্টিগ্রাল ডাইভারজেন্স বোঝা

টেল ভ্যালু অ্যাট রিস্ক (টিভিএআর) ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় একটি গুরুত্বপূর্ণ মেট্রিক, বিশেষ করে চরম ইভেন্টের মডেলিং প্রসঙ্গে। যাইহোক, ইনভার্স ওয়েইবুলের মতো ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করার সময়, TVaR গণনা করা কখনও কখনও জটিল সমস্যাগুলির দিকে নিয়ে যেতে পারে, যেমন ইন্টিগ্রাল ডাইভারজেন্স।

এই নিবন্ধে, আমরা একটি ইনভার্স ওয়েবুল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য TVaR গণনা করার সময় একটি নির্দিষ্ট সমস্যার সম্মুখীন হই। এই সমস্যাটি ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়ার সময় দেখা দেয় এবং এটি ত্রুটির কারণ হতে পারে যা নির্দেশ করে যে ইন্টিগ্রালটি ভিন্ন হতে পারে।

পরামিতি সামঞ্জস্য করার প্রচেষ্টা সত্ত্বেও, যেমন ইন্টিগ্রেশনে উপবিভাগের সংখ্যা বাড়ানো, ত্রুটিটি রয়ে গেছে। কেন এটি ঘটে এবং এটি কীভাবে সংশোধন করা যায় তা বোঝা যে কেউ অ্যাকচুয়ারিয়াল সায়েন্স বা আর্থিক ঝুঁকি বিশ্লেষণে হেভি-টেইল্ড ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে কাজ করে তার জন্য অপরিহার্য।

আমরা সমস্যার মধ্য দিয়ে হেঁটে যাব, অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুতির সম্ভাব্য কারণগুলি চিহ্নিত করব এবং কীভাবে এই সমস্যাটি কার্যকরভাবে সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে পরামর্শ প্রদান করব৷ এই নিবন্ধের শেষে, আপনি TVaR কম্পিউটেশনে অনুরূপ চ্যালেঞ্জগুলি অতিক্রম করার জন্য ব্যবহারিক কৌশলগুলির সাথে সজ্জিত হবেন।

ইনভার্স ওয়েবুল ডিস্ট্রিবিউশনে TVaR গণনার সমস্যা সমাধান করা

উপরে তৈরি করা স্ক্রিপ্টগুলি ইনভার্স ওয়েবুল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য টেইল ভ্যালু অ্যাট রিস্ক (TVaR) গণনার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। TVaR চরম লেজ ইভেন্টে প্রত্যাশিত ক্ষতি অনুমান করার জন্য ব্যবহার করা হয়, এটি ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় একটি গুরুত্বপূর্ণ মেট্রিক করে তোলে, বিশেষ করে বীমা এবং অর্থের মতো ক্ষেত্রে। প্রথম স্ক্রিপ্টটি TVaR গণনা করার জন্য প্রথাগত সংখ্যাসূচক একীকরণ ব্যবহার করে, যা দুর্ভাগ্যবশত একটি ত্রুটির কারণে অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুতি. এটি ঘটে কারণ টেইল ডিস্ট্রিবিউশনের ইন্টিগ্রাল সীমাহীন হয়ে যেতে পারে, বিশেষ করে যখন ইনভার্স ওয়েইবুলের মতো ভারী-টেইল্ড ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে কাজ করা হয়।

এই প্রক্রিয়ার একটি মূল কমান্ড হল একীভূত() ফাংশন, যা ডিস্ট্রিবিউশনের লেজের উপর সংখ্যাসূচক একীকরণ করে। ত্রুটি দেখা দেয় যখন ইন্টিগ্রেশন অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হয়, এবং এখানেই সমস্যাটি রয়েছে। এটি প্রশমিত করার জন্য, আমরা ইনভার্স ওয়েবুল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে প্রাপ্ত কোয়ান্টাইল ব্যবহার করে ইন্টিগ্রেশনকে আবদ্ধ করার চেষ্টা করি। আদেশ মত qinvweibull() আমাদের বিভিন্ন আত্মবিশ্বাসের স্তরে (যেমন, 70%, 80%, 90%) ঝুঁকিতে মূল্য (VaR) গণনা করার অনুমতি দিয়ে এই বিষয়ে সহায়তা করুন। এই কোয়ান্টাইলগুলি ব্যবহার করে, আমরা অখণ্ডের পরিসর নিয়ন্ত্রণ এবং বিচ্যুতি কমানোর লক্ষ্য রাখি।

দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ভিন্ন রুট নেয় মন্টে কার্লো সিমুলেশন. বিশ্লেষণাত্মক একীকরণের উপর নির্ভর করার পরিবর্তে, এটি ব্যবহার করে ইনভার্স ওয়েবুল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে হাজার হাজার র্যান্ডম মান অনুকরণ করে rinvweibull() আদেশ এই পদ্ধতিটি অভিজ্ঞতামূলক ডেটা তৈরি করে এবং VaR থ্রেশহোল্ডের উপরে গড় ক্ষতির উপর ভিত্তি করে TVaR গণনা করার মাধ্যমে অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুতি সমস্যাকে বাধা দেয়। বিশ্লেষণাত্মকভাবে সংহত করা কঠিন এমন বিতরণগুলির সাথে ডিল করার সময় এটি বিশেষভাবে কার্যকর, কারণ এটি একটি আরও নমনীয়, যদিও গণনাগতভাবে নিবিড়, বিকল্প প্রদান করে।

এই পদ্ধতিগুলির দৃঢ়তা নিশ্চিত করার জন্য, ইউনিট পরীক্ষাও প্রয়োগ করা হয়। দ পরীক্ষা_যে() থেকে ফাংশন পরীক্ষা যে প্যাকেজটি মন্টে কার্লো সিমুলেশনের ফলাফল যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়। এই পরীক্ষাগুলি চালানোর মাধ্যমে, আমরা যাচাই করি যে সিমুলেটেড TVaR মানগুলি যৌক্তিক এবং অ-নেতিবাচক৷ পরীক্ষার এই প্রক্রিয়াটি নিশ্চিত করতে সাহায্য করে যে সমাধানগুলি কেবল তাত্ত্বিকভাবে সঠিকভাবে কাজ করে না বরং বিভিন্ন পরিবেশে বৈধ ফলাফলও তৈরি করে। এই পদ্ধতিটি অন্যান্য প্রসঙ্গে অনুরূপ ঝুঁকি গণনার জন্য স্ক্রিপ্টগুলিকে মডুলার এবং পুনরায় ব্যবহারযোগ্য করে তোলে।

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

হেভি-টেইল্ড ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য TVaR গণনা চ্যালেঞ্জ মোকাবেলা করা

ইনভার্স ওয়েইবুলের মতো ভারী লেজ সহ বিতরণের জন্য ঝুঁকিতে লেজের মূল্য (TVaR) গণনা করার সময়, একটি মূল চ্যালেঞ্জ হল তার চরম লেজে বিতরণের আচরণের সাথে মোকাবিলা করা। এখানেই অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুতি ঘটতে পারে, যা গণনা সংক্রান্ত সমস্যাগুলির দিকে পরিচালিত করে। এই ইস্যুটির একটি মৌলিক দিক থেকে উদ্ভূত হয় কীভাবে লেজটি খুব উচ্চ পরিমাণে আচরণ করে, যেখানে প্যারামিটারের ছোট তারতম্য গণনা করা ঝুঁকির মেট্রিকে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য সৃষ্টি করতে পারে। সঠিক ঝুঁকি মূল্যায়ন নিশ্চিত করার জন্য এই চরমগুলি কীভাবে পরিচালনা করতে হয় তা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।

TVaR গণনার সাথে কাজ করার সময় বিবেচনা করার আরেকটি প্রাসঙ্গিক কারণ হল ইন্টিগ্রেশনের সময় অসীম উপরের সীমাগুলি পরিচালনা করার পদ্ধতি। ব্যবহারিক পরিভাষায়, অনেক ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা অ্যাপ্লিকেশন ভিন্নতা সংক্রান্ত সমস্যা এড়াতে একটি বড়, কিন্তু সসীম, উচ্চ সীমা নির্ধারণ করে। এই পদ্ধতিটি গণনা নিয়ন্ত্রণ করতে সাহায্য করে, বিশেষ করে এমন পরিস্থিতিতে যেখানে সঠিক গাণিতিক সমাধানগুলি বের করা কঠিন হতে পারে। ইন্টিগ্রাল বাউন্ডিং বা মন্টে কার্লো সিমুলেশন প্রয়োগ করার মতো পদ্ধতিগুলি লেজে ঝুঁকির সারাংশ ক্যাপচার করার সময় আরও স্থিতিশীল ফলাফলের অনুমতি দেয়।

মন্টে কার্লো সিমুলেশন, যেমন পূর্ববর্তী সমাধানগুলিতে আলোচনা করা হয়েছে, সরাসরি একীকরণের ত্রুটিগুলি কাটিয়ে ওঠার জন্য একটি চমৎকার বিকল্প। ইনভার্স ওয়েইবুল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে এলোমেলো নমুনার একটি বড় সেট তৈরি করে, আপনি প্রত্যাশিত ক্ষতি অনুমান করতে পারেন। এই পদ্ধতিটি অত্যন্ত নমনীয় এবং জটিল গাণিতিক একীকরণের প্রয়োজনীয়তাকে এড়িয়ে যায়, যেখানে ঐতিহ্যগত পদ্ধতিগুলি ব্যর্থ হয় এমন বিতরণগুলির সাথে কাজ করার সময় এটি একটি পছন্দের পদ্ধতি তৈরি করে। এটি ভারী-টেইল্ড ডেটার জন্য বিশেষভাবে উপযোগী, যেখানে চরম ইভেন্টের আচরণ স্ট্যান্ডার্ড মডেল ব্যবহার করে ভবিষ্যদ্বাণী করা কঠিন হতে পারে।