Oprava integrální divergence v rizikové hodnotě koncové hodnoty (TVaR) inverzní Weibullovy distribuce

Pochopení integrální divergence ve výpočtu TVaR

Tail Value at Risk (TVaR) je klíčovou metrikou v řízení rizik, zejména v kontextu modelování extrémních událostí. Při použití distribucí, jako je inverzní Weibull, však může výpočet TVaR někdy vést ke složitým problémům, jako je integrální divergence.

V tomto článku prozkoumáme konkrétní problém, se kterým se setkáváme při výpočtu TVaR pro inverzní Weibullovu distribuci. Tento problém nastává během integračního procesu a může vést k chybám indikujícím, že integrál může být divergentní.

Navzdory pokusům o úpravu parametrů, jako je zvýšení počtu podskupin v integraci, chyba přetrvává. Pochopení, proč k tomu dochází a jak to napravit, je nezbytné pro každého, kdo pracuje s těžkopádnými distribucemi v pojistně-matematické vědě nebo analýze finančních rizik.

Projdeme si problémem, určíme možné důvody integrální divergence a poskytneme návrhy, jak tento problém efektivně vyřešit. Na konci tohoto článku budete vybaveni praktickými strategiemi, jak překonat podobné problémy ve výpočtech TVaR.

Řešení problémů s výpočtem TVaR v inverzním Weibullově rozdělení

Výše vytvořené skripty se zaměřují na výpočet Tail Value at Risk (TVaR) pro inverzní Weibullovu distribuci. TVaR se používá k odhadu očekávané ztráty v extrémních koncových událostech, což z ní činí kritickou metriku v řízení rizik, zejména v oblastech, jako je pojištění a finance. První skript používá k výpočtu TVaR tradiční numerickou integraci, což bohužel vede k chybě integrální divergence. K tomu dochází, protože integrál pro koncové rozdělení se může stát neohraničeným, zvláště když se jedná o rozdělení s těžkým koncem, jako je inverzní Weibullova.

Jedním z klíčových příkazů v tomto procesu je integrovat() funkce, která provádí numerickou integraci na konci distribuce. Chyba nastává, když se integrace rozšíří do nekonečna, a v tom spočívá problém. Abychom to zmírnili, pokoušíme se spojit integraci pomocí kvantilů odvozených z inverzního Weibullova rozdělení. Příkazy jako qinvweibull() pomoci v tomto ohledu tím, že nám umožní vypočítat Value at Risk (VaR) na různých úrovních spolehlivosti (např. 70 %, 80 %, 90 %). Pomocí těchto kvantilů se snažíme řídit rozsah integrálu a snížit divergenci.

Druhý přístup používá jinou cestu Simulace Monte Carlo. Místo toho, aby se spoléhal na analytickou integraci, simuluje tisíce náhodných hodnot z inverzního Weibullova rozdělení pomocí rinvweibull() příkaz. Tato metoda obchází problém integrální divergence generováním empirických dat a výpočtem TVaR na základě průměrné ztráty nad prahovou hodnotou VaR. To je užitečné zejména při řešení distribucí, které je obtížné analyticky integrovat, protože poskytuje flexibilnější, i když výpočetně náročnější alternativu.

Pro zajištění robustnosti těchto metod je také implementováno jednotkové testování. The test_to() funkce z otestovat to Balíček se používá k ověření výsledků simulace Monte Carlo. Spuštěním těchto testů ověříme, že simulované hodnoty TVaR jsou logické a nezáporné. Tento proces testování pomáhá zajistit, že řešení nejen teoreticky správně fungují, ale také produkují platné výsledky v různých prostředích. Díky tomuto přístupu jsou skripty modulární a znovu použitelné pro podobné výpočty rizik v jiných kontextech.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Řešení výzev pro výpočty TVaR pro distribuce s těžkým koncem

Při výpočtu Tail Value at Risk (TVaR) pro distribuce s těžkými chvosty, jako je Inverse Weibull, je jedním z klíčových problémů řešení chování distribuce v jejím extrémním konci. Zde může dojít k integrální divergenci, což vede k problémům s výpočtem. Základní aspekt tohoto problému vyplývá z toho, jak se ocas chová ve velmi vysokých kvantilech, kde malé odchylky v parametrech mohou vést k významným rozdílům ve vypočítané metrice rizika. Pochopení toho, jak tyto extrémy zvládat, je zásadní pro zajištění přesného hodnocení rizik.

Dalším důležitým faktorem, který je třeba vzít v úvahu při práci s výpočty TVaR, je způsob zpracování nekonečných horních odhadů během integrace. Prakticky řečeno, mnoho aplikací pro řízení rizik nastavuje velkou, ale konečnou horní hranici, aby se předešlo problémům s divergencemi. Tento přístup pomáhá řídit výpočet, zejména v situacích, kdy může být obtížné odvodit přesná matematická řešení. Metody jako ohraničující integrál nebo aplikace Monte Carlo simulací umožňují stabilnější výsledky a přitom stále zachycují podstatu rizika na konci.

Simulace Monte Carlo, jak bylo diskutováno v předchozích řešeních, jsou vynikající alternativou pro překonání úskalí přímé integrace. Generováním velké sady náhodných vzorků z inverzního Weibullova rozdělení můžete empiricky odhadnout očekávané ztráty. Tento přístup je vysoce flexibilní a eliminuje potřebu složité matematické integrace, což z něj činí preferovanou metodu při práci s distribucemi, kde tradiční metody selhávají. Je to užitečné zejména pro data typu heavy-tailed, kde může být obtížné předvídat chování extrémních událostí pomocí standardních modelů.