Fastsættelse af integreret divergens i den omvendte Weibull-distributions haleværdi ved risiko (TVaR)

Forståelse af integral divergens i TVaR-beregning

Tail Value at Risk (TVaR) er en afgørende målestok i risikostyring, især i forbindelse med modellering af ekstreme hændelser. Men når du bruger distributioner som Inverse Weibull, kan beregning af TVaR nogle gange føre til komplekse problemer, såsom integral divergens.

I denne artikel undersøger vi et specifikt problem, man støder på, når man beregner TVaR for en invers Weibull-fordeling. Dette problem opstår under integrationsprocessen, og det kan føre til fejl, der indikerer, at integralet kan være divergerende.

På trods af forsøg på at justere parametre, såsom at øge antallet af underafdelinger i integrationen, fortsætter fejlen. At forstå, hvorfor dette sker, og hvordan man retter det, er afgørende for alle, der arbejder med tunge fordelinger inden for aktuarvidenskab eller finansiel risikoanalyse.

Vi vil gennemgå problemet, identificere de mulige årsager til integreret divergens og give forslag til, hvordan man løser dette problem effektivt. Ved slutningen af ​​denne artikel vil du være udstyret med praktiske strategier til at overvinde lignende udfordringer i TVaR-beregninger.

Løsning af TVaR-beregningsproblemer i omvendt Weibull-distribution

De scripts, der er oprettet ovenfor, er fokuseret på at beregne Tail Value at Risk (TVaR) for en omvendt Weibull-fordeling. TVaR bruges til at estimere det forventede tab i ekstreme halehændelser, hvilket gør det til en kritisk målestok i risikostyring, især inden for områder som forsikring og finans. Det første script bruger traditionel numerisk integration til at beregne TVaR, hvilket desværre fører til en fejl pga. integral divergens. Dette sker, fordi integralet for halefordelingen kan blive ubegrænset, især når man har at gøre med tunghalede fordelinger som Inverse Weibull.

En nøglekommando i denne proces er integrere() funktion, som udfører numerisk integration over distributionens hale. Fejlen opstår, når integrationen strækker sig til det uendelige, og det er her problemet ligger. For at afbøde dette forsøger vi at binde integrationen ved hjælp af kvantiler afledt af den omvendte Weibull-fordeling. Kommandoer som qinvweibull() hjælp i denne henseende ved at give os mulighed for at beregne Value at Risk (VaR) på forskellige konfidensniveauer (f.eks. 70 %, 80 %, 90 %). Ved at bruge disse kvantiler sigter vi mod at kontrollere integralets rækkevidde og reducere divergens.

Den anden tilgang tager en anden rute ved at bruge Monte Carlo simulering. I stedet for at stole på analytisk integration, simulerer den tusindvis af tilfældige værdier fra den omvendte Weibull-fordeling ved hjælp af rinvweibull() kommando. Denne metode omgår problemet med integral divergens ved at generere empiriske data og beregne TVaR baseret på det gennemsnitlige tab over VaR-tærsklen. Dette er især nyttigt, når det drejer sig om distributioner, der er vanskelige at integrere analytisk, da det giver et mere fleksibelt, omend beregningsmæssigt intensivt, alternativ.

For at sikre robustheden af ​​disse metoder implementeres også enhedstest. De test_that() funktion fra test det pakken bruges til at validere resultaterne af Monte Carlo-simuleringen. Ved at køre disse tests verificerer vi, at de simulerede TVaR-værdier er logiske og ikke-negative. Denne testproces hjælper med at sikre, at løsningerne ikke kun fungerer korrekt i teorien, men også producerer gyldige resultater på tværs af forskellige miljøer. Denne tilgang gør scripts modulære og genbrugelige til lignende risikoberegninger i andre sammenhænge.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Håndtering af TVaR-beregningsudfordringer for Heavy-tailed distributioner

Når man beregner Tail Value at Risk (TVaR) for distributioner med tunge haler, såsom Inverse Weibull, er en nøgleudfordring at håndtere fordelingens adfærd i dens ekstreme hale. Det er her, der kan opstå integreret divergens, hvilket fører til beregningsmæssige problemer. Et grundlæggende aspekt af dette problem stammer fra, hvordan halen opfører sig ved meget høje kvantiler, hvor små variationer i parametre kan føre til betydelige forskelle i den beregnede risikometrik. At forstå, hvordan man håndterer disse ekstremer, er afgørende for at sikre nøjagtige risikovurderinger.

En anden relevant faktor at overveje, når man arbejder med TVaR-beregninger, er metoden til at håndtere uendelige øvre grænser under integration. Rent praktisk sætter mange risikostyringsapplikationer en stor, men begrænset øvre grænse for at undgå problemer med divergens. Denne tilgang hjælper med at kontrollere beregningen, især i situationer, hvor nøjagtige matematiske løsninger kan være svære at udlede. Metoder som afgrænsning af integralet eller anvendelse af Monte Carlo-simuleringer giver mulighed for mere stabile resultater, mens de stadig fanger essensen af ​​risiko i halen.

Monte Carlo-simuleringer, som diskuteret i tidligere løsninger, er et glimrende alternativ til at overvinde faldgruberne ved direkte integration. Ved at generere et stort sæt tilfældige stikprøver fra den omvendte Weibull-fordeling kan du empirisk estimere de forventede tab. Denne tilgang er meget fleksibel og undgår behovet for kompleks matematisk integration, hvilket gør den til en foretrukken metode, når man arbejder med distributioner, hvor traditionelle metoder fejler. Det er især nyttigt til data med tunge haler, hvor ekstreme hændelsers adfærd kan være svær at forudsige ved hjælp af standardmodeller.