Behebung der Integraldivergenz im Tail Value at Risk (TVaR) der inversen Weibull-Verteilung

Integrale Divergenz bei der TVaR-Berechnung verstehen

Der Tail Value at Risk (TVaR) ist eine entscheidende Messgröße im Risikomanagement, insbesondere im Zusammenhang mit der Modellierung extremer Ereignisse. Bei der Verwendung von Verteilungen wie der inversen Weibull-Verteilung kann die Berechnung des TVaR jedoch manchmal zu komplexen Problemen führen, beispielsweise zur Integraldivergenz.

In diesem Artikel untersuchen wir ein spezifisches Problem, das bei der Berechnung des TVaR für eine inverse Weibull-Verteilung auftritt. Dieses Problem tritt während des Integrationsprozesses auf und kann zu Fehlern führen, die darauf hinweisen, dass das Integral möglicherweise divergent ist.

Trotz Versuchen, Parameter anzupassen, wie z. B. die Erhöhung der Anzahl der Unterteilungen in der Integration, bleibt der Fehler bestehen. Für jeden, der in der Versicherungsmathematik oder in der Finanzrisikoanalyse mit stark ausgeprägten Verteilungen arbeitet, ist es wichtig zu verstehen, warum dies geschieht und wie man es beheben kann.

Wir gehen das Problem durch, identifizieren die möglichen Gründe für die Integraldivergenz und geben Vorschläge, wie dieses Problem effektiv gelöst werden kann. Am Ende dieses Artikels verfügen Sie über praktische Strategien zur Bewältigung ähnlicher Herausforderungen bei TVaR-Berechnungen.

Beheben von TVaR-Berechnungsproblemen in der inversen Weibull-Verteilung

Die oben erstellten Skripte konzentrieren sich auf die Berechnung des Tail Value at Risk (TVaR) für eine inverse Weibull-Verteilung. TVaR wird verwendet, um den erwarteten Verlust bei extremen Extremereignissen abzuschätzen, was es zu einer entscheidenden Messgröße im Risikomanagement macht, insbesondere in Bereichen wie Versicherungen und Finanzen. Das erste Skript verwendet die traditionelle numerische Integration zur Berechnung des TVaR, was leider zu einem Fehler aufgrund von führt integrale Divergenz. Dies liegt daran, dass das Integral für die Tail-Verteilung unbegrenzt werden kann, insbesondere wenn es sich um stark taillierte Verteilungen wie die inverse Weibull-Verteilung handelt.

Ein wichtiger Befehl in diesem Prozess ist der integrieren() Funktion, die eine numerische Integration über das Ende der Verteilung durchführt. Der Fehler tritt auf, wenn die Integration bis ins Unendliche reicht, und hier liegt das Problem. Um dies zu mildern, versuchen wir, die Integration mithilfe von Quantilen zu begrenzen, die aus der inversen Weibull-Verteilung abgeleitet sind. Befehle wie qinvweibull() Helfen Sie dabei, indem Sie uns die Berechnung des Value at Risk (VaR) auf verschiedenen Konfidenzniveaus (z. B. 70 %, 80 %, 90 %) ermöglichen. Durch die Verwendung dieser Quantile möchten wir den Bereich des Integrals steuern und die Divergenz verringern.

Der zweite Ansatz geht einen anderen Weg, indem er verwendet Monte-Carlo-Simulation. Anstatt sich auf analytische Integration zu verlassen, simuliert es Tausende von Zufallswerten aus der inversen Weibull-Verteilung mithilfe von rinvweibull() Befehl. Diese Methode umgeht das Integraldivergenzproblem, indem sie empirische Daten generiert und den TVaR auf der Grundlage des mittleren Verlusts über dem VaR-Schwellenwert berechnet. Dies ist besonders nützlich, wenn es um Verteilungen geht, die analytisch schwer zu integrieren sind, da es eine flexiblere, wenn auch rechenintensivere Alternative darstellt.

Um die Robustheit dieser Methoden sicherzustellen, werden auch Unit-Tests implementiert. Der test_that() Funktion aus dem Testen Sie das Das Paket wird zur Validierung der Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation verwendet. Durch die Durchführung dieser Tests überprüfen wir, ob die simulierten TVaR-Werte logisch und nicht negativ sind. Durch diesen Testprozess wird sichergestellt, dass die Lösungen nicht nur theoretisch korrekt funktionieren, sondern auch in verschiedenen Umgebungen gültige Ergebnisse liefern. Dieser Ansatz macht die Skripte modular und für ähnliche Risikoberechnungen in anderen Kontexten wiederverwendbar.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Bewältigung der TVaR-Berechnungsherausforderungen für Heavy-Tailed-Verteilungen

Bei der Berechnung des Tail Value at Risk (TVaR) für Verteilungen mit ausgeprägten Ausläufern, wie z. B. dem inversen Weibull, besteht eine zentrale Herausforderung darin, das Verhalten der Verteilung in ihrem extremen Ausläufer zu berücksichtigen. Hier kann eine integrale Divergenz auftreten, die zu Rechenproblemen führt. Ein grundlegender Aspekt dieses Problems ergibt sich aus dem Verhalten des Tails bei sehr hohen Quantilen, wo kleine Variationen der Parameter zu erheblichen Unterschieden in der berechneten Risikometrik führen können. Um genaue Risikobewertungen zu gewährleisten, ist es wichtig zu verstehen, wie man mit diesen Extremen umgeht.

Ein weiterer relevanter Faktor, der bei der Arbeit mit TVaR-Berechnungen berücksichtigt werden muss, ist die Methode zur Handhabung unendlicher Obergrenzen während der Integration. In der Praxis legen viele Risikomanagementanwendungen eine große, aber endliche Obergrenze fest, um Divergenzprobleme zu vermeiden. Dieser Ansatz hilft bei der Kontrolle der Berechnung, insbesondere in Situationen, in denen es schwierig sein könnte, exakte mathematische Lösungen abzuleiten. Methoden wie die Begrenzung des Integrals oder die Anwendung von Monte-Carlo-Simulationen ermöglichen stabilere Ergebnisse und erfassen gleichzeitig das Wesentliche des Risikos im Tail.

Monte-Carlo-Simulationen sind, wie in früheren Lösungen besprochen, eine hervorragende Alternative, um die Fallstricke der direkten Integration zu überwinden. Durch die Generierung einer großen Menge an Zufallsstichproben aus der inversen Weibull-Verteilung können Sie die erwarteten Verluste empirisch abschätzen. Dieser Ansatz ist äußerst flexibel und vermeidet die Notwendigkeit einer komplexen mathematischen Integration, was ihn zu einer bevorzugten Methode bei der Arbeit mit Verteilungen macht, bei denen herkömmliche Methoden versagen. Dies ist besonders nützlich für stark ausgeprägte Daten, bei denen das Verhalten extremer Ereignisse mit Standardmodellen schwer vorherzusagen ist.