Integraalse lahknevuse parandamine Weibulli jaotuse pöördväärtuses riskiga (TVaR)

Integraalse lahknevuse mõistmine TVaR-i arvutamisel

Tail Value at Risk (TVaR) on riskijuhtimise oluline mõõdik, eriti äärmuslike sündmuste modelleerimise kontekstis. Siiski, kui kasutate distributsioone nagu Inverse Weibull, võib TVaR-i arvutamine mõnikord põhjustada keerulisi probleeme, näiteks lahutamatuid erinevusi.

Selles artiklis uurime konkreetset probleemi, mis ilmnes pöördvõrdelise Weibulli jaotuse TVaR arvutamisel. See probleem ilmneb integreerimisprotsessi käigus ja see võib põhjustada tõrkeid, mis näitavad, et integraal võib olla erinev.

Vaatamata katsetele parameetreid kohandada, näiteks suurendada integratsiooni alajaotuste arvu, viga püsib. Mõistmine, miks see juhtub ja kuidas seda parandada, on oluline kõigile, kes töötavad kindlustusmatemaatika või finantsriskianalüüsi alal raskete jaotustega.

Käsitleme probleemi, selgitame välja tervikliku lahknemise võimalikud põhjused ja anname soovitusi selle probleemi tõhusaks lahendamiseks. Selle artikli lõpuks on teil olemas praktilised strateegiad TVaR-i arvutustes sarnaste väljakutsete ületamiseks.

TVaR-i arvutamise probleemide lahendamine Weibulli pöördjaotuses

Ülaltoodud skriptid on keskendunud pöördvõrdelise Weibulli jaotuse riskijäägiväärtuse (TVaR) arvutamisele. TVaR-i kasutatakse oodatava kahju hindamiseks äärmuslike sündmuste korral, muutes selle kriitiliseks mõõdikuks riskijuhtimisel, eriti sellistes valdkondades nagu kindlustus ja rahandus. Esimene skript kasutab TVaR arvutamiseks traditsioonilist numbrilist integratsiooni, mis kahjuks põhjustab tõrke integraalne lahknevus. Selle põhjuseks on asjaolu, et sabajaotuse integraal võib muutuda piiramatuks, eriti kui tegemist on raskekujuliste jaotustega, nagu Inverse Weibull.

Üks selle protsessi võtmekäsklus on integre() funktsioon, mis teostab jaotuse saba kaudu numbrilist integreerimist. Viga tekib siis, kui integratsioon ulatub lõpmatuseni ja selles peitubki probleem. Selle leevendamiseks proovime integratsiooni siduda, kasutades Inverse Weibulli jaotusest tuletatud kvantiile. Käske nagu qinvweibull() selles osas abi, võimaldades meil arvutada riskiväärtust (VaR) erinevatel usaldustasemetel (nt 70%, 80%, 90%). Neid kvantiile kasutades on meie eesmärk kontrollida integraali ulatust ja vähendada lahknemist.

Teine lähenemisviis kasutab kasutades teist teed Monte Carlo simulatsioon. Selle asemel, et tugineda analüütilisele integratsioonile, simuleerib see tuhandeid juhuslikke väärtusi Weibulli pöördjaotusest, kasutades rinvweibull() käsk. See meetod väldib integraalse lahknemise probleemi, genereerides empiirilisi andmeid ja arvutades TVaR-i VaR-i läve ületava keskmise kadu alusel. See on eriti kasulik, kui käsitletakse jaotusi, mida on analüütiliselt raske integreerida, kuna see pakub paindlikumat, kuigi arvutusmahukat alternatiivi.

Nende meetodite töökindluse tagamiseks rakendatakse ka ühikutestimist. The test_that() funktsioonist testi seda paketti kasutatakse Monte Carlo simulatsiooni tulemuste kinnitamiseks. Nende testide käivitamisega kontrollime, et simuleeritud TVaR väärtused on loogilised ja mittenegatiivsed. See testimisprotsess aitab tagada, et lahendused ei tööta mitte ainult teoreetiliselt õigesti, vaid annavad ka erinevates keskkondades kehtivaid tulemusi. See lähenemisviis muudab skriptid modulaarseks ja muudes kontekstides sarnaste riskiarvutuste jaoks taaskasutatavaks.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

TVaR-i arvutamise väljakutsetega tegelemine raskekujuliste levialade puhul

Raske sabaga distributsioonide (nt Inverse Weibull) riskide sabaväärtuse (TVaR) arvutamisel on üheks peamiseks väljakutseks jaotuse käitumine selle äärmises sabas. See on koht, kus võib tekkida terviklik lahknevus, mis toob kaasa arvutusprobleeme. Selle probleemi põhiaspekt tuleneb sellest, kuidas saba käitub väga kõrgetel kvantiilidel, kus parameetrite väikesed erinevused võivad põhjustada olulisi erinevusi arvutatud riskimõõdikus. Täpse riskihinnangu tagamiseks on oluline mõista, kuidas neid äärmusi juhtida.

Veel üks oluline tegur, mida TVaR-i arvutustega töötamisel arvestada, on integreerimise ajal lõpmatute ülemiste piiride käsitlemise meetod. Praktikas seavad paljud riskihaldusrakendused suure, kuid piiratud ülempiiri, et vältida lahknemisega seotud probleeme. See lähenemisviis aitab arvutusi juhtida, eriti olukordades, kus täpseid matemaatilisi lahendusi võib olla raske tuletada. Sellised meetodid nagu integraali piiramine või Monte Carlo simulatsioonide rakendamine võimaldavad saada stabiilsemaid tulemusi, jäädes samas siiski sabas oleva riski olemuse kinni.

Monte Carlo simulatsioonid, nagu eelmistes lahendustes käsitletud, on suurepärane alternatiiv otsese integratsiooni lõkse ületamiseks. Genereerides Weibulli pöördjaotusest suure hulga juhuslikke valimeid, saate empiiriliselt hinnata eeldatavaid kadusid. See lähenemisviis on väga paindlik ja väldib vajadust keeruka matemaatilise integratsiooni järele, muutes selle eelistatud meetodiks distributsioonidega töötamisel, kus traditsioonilised meetodid ebaõnnestuvad. See on eriti kasulik raskete andmete puhul, kus äärmuslike sündmuste käitumist võib standardmudelite abil olla raske ennustada.