Integraalisen eron korjaaminen käänteisen Weibull-jakauman tail-arvon riskissä (TVaR)

Integraalisen eron ymmärtäminen TVaR-laskennassa

Tail Value at Risk (TVaR) on tärkeä mittari riskienhallinnassa, erityisesti ääritapahtumien mallintamisessa. Käänteisen Weibullin kaltaisia ​​jakeluja käytettäessä TVaR:n laskeminen voi kuitenkin joskus johtaa monimutkaisiin ongelmiin, kuten integraaliseen eroon.

Tässä artikkelissa tutkimme erityistä ongelmaa, joka havaittiin laskettaessa TVaR-arvoa käänteiselle Weibull-jakaumalle. Tämä ongelma ilmenee integrointiprosessin aikana, ja se voi johtaa virheisiin, jotka osoittavat, että integraali saattaa olla poikkeava.

Huolimatta yrityksistä säätää parametreja, kuten lisäämällä aliosastojen määrää integraatiossa, virhe jatkuu. Sen ymmärtäminen, miksi näin tapahtuu ja kuinka se korjataan, on olennaista kaikille, jotka työskentelevät vakuutusmatemaattisen tieteen tai taloudellisten riskianalyysien parissa raskaan jakauman parissa.

Käymme läpi ongelman, tunnistamme mahdolliset syyt kokonaisvaltaiseen eroon ja annamme ehdotuksia ongelman ratkaisemiseksi tehokkaasti. Tämän artikkelin loppuun mennessä sinulla on käytännön strategioita, joiden avulla voit voittaa samanlaiset haasteet TVaR-laskennassa.

TVaR-laskentaongelmien ratkaiseminen käänteisessä Weibull-jakaumassa

Yllä luodut skriptit keskittyvät käänteisen Weibull-jakauman Tail Value at Risk (TVaR) laskemiseen. TVaR:a käytetään arvioimaan odotettua tappiota äärimmäisissä takatapahtumissa, joten se on kriittinen mittari riskienhallinnassa erityisesti vakuutus- ja rahoitusaloilla. Ensimmäinen komentosarja käyttää perinteistä numeerista integraatiota TVaR:n laskemiseen, mikä valitettavasti johtaa virheeseen, joka johtuu integraalinen ero. Tämä johtuu siitä, että häntäjakauman integraalista voi tulla rajaton, varsinkin kun käsitellään raskaan pyrstön jakaumia, kuten Inverse Weibull.

Yksi avainkomento tässä prosessissa on integroi() funktio, joka suorittaa numeerisen integroinnin jakauman hännän yli. Virhe syntyy, kun integraatio ulottuu äärettömyyteen, ja tässä ongelma piilee. Tämän lieventämiseksi yritämme sitoa integroinnin käyttämällä kvantiileja, jotka on johdettu käänteisestä Weibull-jakaumasta. Komennot kuten qinvweibull() auttaa tässä suhteessa antamalla meille mahdollisuuden laskea Value at Risk (VaR) eri luottamustasoilla (esim. 70%, 80%, 90%). Näitä kvantiileja käyttämällä pyrimme hallitsemaan integraalin aluetta ja vähentämään eroja.

Toinen lähestymistapa kulkee eri reittiä käyttämällä Monte Carlon simulaatio. Sen sijaan, että luottaisi analyyttiseen integrointiin, se simuloi tuhansia satunnaisia ​​arvoja käänteisestä Weibull-jakaumasta käyttämällä rinvweibull() komento. Tämä menetelmä kiertää integraalisen divergenssiongelman generoimalla empiiristä dataa ja laskemalla TVaR:n VaR-kynnyksen ylittävän keskihäviön perusteella. Tämä on erityisen hyödyllistä käsiteltäessä jakaumia, joita on vaikea integroida analyyttisesti, koska se tarjoaa joustavamman, vaikkakin laskentaintensiivisen vaihtoehdon.

Näiden menetelmien kestävyyden varmistamiseksi toteutetaan myös yksikkötestausta. The testi_that() toiminto alkaen testaa sitä pakettia käytetään Monte Carlon simulaation tulosten validointiin. Suorittamalla nämä testit varmistamme, että simuloidut TVaR-arvot ovat loogisia ja ei-negatiivisia. Tämä testausprosessi auttaa varmistamaan, että ratkaisut eivät toimi vain teoriassa oikein, vaan myös tuottavat kelvollisia tuloksia eri ympäristöissä. Tämä lähestymistapa tekee skripteistä modulaarisia ja uudelleenkäytettäviä samankaltaisiin riskilaskelmiin muissa yhteyksissä.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

TVaR-laskennan haasteisiin vastaaminen raskaan pyrstön jakeluissa

Laskettaessa Tail Value at Risk (TVaR) jakaumille, joissa on raskas häntä, kuten käänteinen Weibull, yksi keskeinen haaste on käsitellä jakauman käyttäytymistä sen äärimmäisessä pyrstössä. Tässä voi esiintyä integraalista eroa, mikä johtaa laskennallisiin ongelmiin. Tämän ongelman perustavanlaatuinen näkökohta johtuu siitä, kuinka häntä käyttäytyy erittäin korkeissa kvantiileissa, joissa pienet vaihtelut parametreissa voivat johtaa merkittäviin eroihin lasketussa riskimittarissa. Näiden äärimmäisyyksien hallitsemisen ymmärtäminen on erittäin tärkeää tarkan riskiarvioinnin varmistamiseksi.

Toinen olennainen tekijä TVaR-laskelmien kanssa työskennellessä on tapa käsitellä äärettömiä ylärajoja integroinnin aikana. Käytännössä monet riskinhallintasovellukset asettavat suuren, mutta rajallisen ylärajan eroon liittyvien ongelmien välttämiseksi. Tämä lähestymistapa auttaa hallitsemaan laskentaa, erityisesti tilanteissa, joissa tarkkoja matemaattisia ratkaisuja voi olla vaikea johtaa. Menetelmät, kuten integraalin rajoittaminen tai Monte Carlo -simulaatioiden soveltaminen, mahdollistavat vakaammat tulokset, mutta silti tallentavat riskin olemuksen hännän sisällä.

Monte Carlo -simulaatiot, kuten aiemmissa ratkaisuissa on käsitelty, ovat erinomainen vaihtoehto suoran integraation sudenkuopat voittamiseksi. Luomalla suuren joukon satunnaisnäytteitä käänteisestä Weibull-jakaumasta voit empiirisesti arvioida odotetut häviöt. Tämä lähestymistapa on erittäin joustava ja välttää monimutkaisen matemaattisen integroinnin, mikä tekee siitä suositellun menetelmän työskennellessäsi jakeluissa, joissa perinteiset menetelmät epäonnistuvat. Se on erityisen hyödyllinen raskaaseen dataan, jossa äärimmäisten tapahtumien käyttäytymistä voi olla vaikea ennustaa standardimalleilla.