Correction de la divergence intégrale dans la valeur extrême à risque (TVaR) de la distribution inverse de Weibull

Comprendre la divergence intégrale dans le calcul TVaR

La Tail Value at Risk (TVaR) est une mesure cruciale dans la gestion des risques, notamment dans le contexte de la modélisation d’événements extrêmes. Cependant, lors de l'utilisation de distributions telles que l'Inverse Weibull, le calcul de TVaR peut parfois conduire à des problèmes complexes, tels que la divergence intégrale.

Dans cet article, nous explorons un problème spécifique rencontré lors du calcul de TVaR pour une distribution de Weibull inverse. Ce problème survient pendant le processus d'intégration et peut conduire à des erreurs indiquant que l'intégrale peut être divergente.

Malgré les tentatives d'ajustement des paramètres, comme l'augmentation du nombre de subdivisions dans l'intégration, l'erreur persiste. Comprendre pourquoi cela se produit et comment y remédier est essentiel pour quiconque travaille avec des distributions à queue lourde en science actuarielle ou en analyse des risques financiers.

Nous examinerons le problème, identifierons les raisons possibles de la divergence intégrale et fournirons des suggestions sur la façon de résoudre ce problème efficacement. À la fin de cet article, vous disposerez de stratégies pratiques pour surmonter des défis similaires dans les calculs TVaR.

Résolution des problèmes de calcul TVaR dans la distribution de Weibull inverse

Les scripts créés ci-dessus se concentrent sur le calcul de la valeur résiduelle à risque (TVaR) pour une distribution de Weibull inverse. TVaR est utilisé pour estimer la perte attendue lors d'événements extrêmes, ce qui en fait une mesure essentielle dans la gestion des risques, en particulier dans des domaines comme l'assurance et la finance. Le premier script utilise l'intégration numérique traditionnelle pour calculer TVaR, ce qui conduit malheureusement à une erreur due à divergence intégrale. Cela se produit parce que l'intégrale de la distribution de queue peut devenir illimitée, en particulier lorsqu'il s'agit de distributions à queue lourde comme l'inverse de Weibull.

Une commande clé dans ce processus est la intégrer() fonction, qui effectue une intégration numérique sur la queue de la distribution. L’erreur survient lorsque l’intégration s’étend à l’infini, et c’est là que réside le problème. Pour atténuer cela, nous tentons de limiter l'intégration à l'aide de quantiles dérivés de la distribution inverse de Weibull. Des commandes comme qinvweibull() nous aident à cet égard en nous permettant de calculer la valeur à risque (VaR) à différents niveaux de confiance (par exemple, 70 %, 80 %, 90 %). En utilisant ces quantiles, nous visons à contrôler la plage de l’intégrale et à réduire la divergence.

La deuxième approche emprunte une voie différente en utilisant Simulation de Monte-Carlo. Au lieu de s'appuyer sur une intégration analytique, il simule des milliers de valeurs aléatoires de la distribution inverse de Weibull en utilisant la méthode rinvweibull() commande. Cette méthode contourne le problème de divergence intégrale en générant des données empiriques et en calculant la TVaR sur la base de la perte moyenne supérieure au seuil de VaR. Ceci est particulièrement utile lorsqu’il s’agit de distributions difficiles à intégrer analytiquement, car cela offre une alternative plus flexible, quoique gourmande en calculs.

Pour garantir la robustesse de ces méthodes, des tests unitaires sont également mis en œuvre. Le test_that() fonction à partir du tester ça Le package est utilisé pour valider les résultats de la simulation Monte Carlo. En exécutant ces tests, nous vérifions que les valeurs TVaR simulées sont logiques et non négatives. Ce processus de test permet de garantir que les solutions fonctionnent non seulement correctement en théorie, mais qu'elles produisent également des résultats valides dans différents environnements. Cette approche rend les scripts modulaires et réutilisables pour des calculs de risques similaires dans d'autres contextes.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Relever les défis du calcul TVaR pour les distributions à queue lourde

Lors du calcul de la valeur extrême à risque (TVaR) pour les distributions à queues lourdes, telles que l'inverse de Weibull, l'un des principaux défis consiste à gérer le comportement de la distribution dans sa queue extrême. C’est là qu’une divergence intégrale peut se produire, entraînant des problèmes de calcul. Un aspect fondamental de ce problème découle du comportement de la queue à des quantiles très élevés, où de petites variations des paramètres peuvent entraîner des différences significatives dans la mesure du risque calculée. Comprendre comment gérer ces extrêmes est essentiel pour garantir des évaluations précises des risques.

Un autre facteur pertinent à prendre en compte lors de l'utilisation des calculs TVaR est la méthode de gestion des limites supérieures infinies lors de l'intégration. En termes pratiques, de nombreuses applications de gestion des risques fixent une limite supérieure large, mais limitée, pour éviter les problèmes de divergence. Cette approche permet de contrôler le calcul, en particulier dans les situations où des solutions mathématiques exactes peuvent être difficiles à dériver. Des méthodes telles que la limitation de l'intégrale ou l'application de simulations de Monte Carlo permettent d'obtenir des résultats plus stables tout en capturant l'essence du risque dans la queue.

Les simulations de Monte Carlo, comme évoqué dans les solutions précédentes, constituent une excellente alternative pour surmonter les pièges de l'intégration directe. En générant un large ensemble d'échantillons aléatoires à partir de la distribution inverse de Weibull, vous pouvez estimer empiriquement les pertes attendues. Cette approche est très flexible et évite le besoin d'une intégration mathématique complexe, ce qui en fait une méthode privilégiée lorsque l'on travaille avec des distributions où les méthodes traditionnelles échouent. C’est particulièrement utile pour les données à queue lourde, où le comportement des événements extrêmes peut être difficile à prédire à l’aide de modèles standards.