Popravljanje integralne divergencije u rizičnoj repnoj vrijednosti inverzne Weibullove distribucije (TVaR)

Razumijevanje integralne divergencije u TVaR izračunu

Rizična vrijednost repa (TVaR) je ključna metrika u upravljanju rizikom, posebno u kontekstu modeliranja ekstremnih događaja. Međutim, kada se koriste distribucije poput inverzne Weibullove, izračunavanje TVaR ponekad može dovesti do složenih problema, kao što je integralna divergencija.

U ovom članku istražujemo određeni problem na koji nailazimo pri izračunavanju TVaR za inverznu Weibullovu distribuciju. Ovaj problem nastaje tijekom procesa integracije i može dovesti do pogrešaka koje ukazuju da bi integral mogao biti divergentan.

Unatoč pokušajima podešavanja parametara, kao što je povećanje broja podjela u integraciji, pogreška i dalje postoji. Razumijevanje zašto se to događa i kako to ispraviti ključno je za svakoga tko radi s distribucijama s teškim repovima u aktuarskoj znanosti ili analizi financijskog rizika.

Proći ćemo kroz problem, identificirati moguće razloge integralnog odstupanja i dati prijedloge kako učinkovito riješiti ovaj problem. Do kraja ovog članka bit ćete opremljeni praktičnim strategijama za prevladavanje sličnih izazova u TVaR izračunima.

Naredba	Primjer upotrebe
fitdist()	Ova naredba iz paket se koristi za prilagođavanje parametarske distribucije podacima. U ovom slučaju, odgovara inverznoj Weibullovoj distribuciji na vektor podataka x, procjenjujući parametre koji najbolje opisuju skup podataka.
rinvweibull()	Generira nasumične brojeve iz inverzne Weibullove distribucije koristeći specificirane parametre oblika i razmjera. Za simulaciju velikih skupova podataka ključno je izračunati metriku rizika kao što je TVaR pomoću Monte Carlo metoda.
qinvweibull()	Vraća kvantile inverzne Weibullove distribucije. U ovom kontekstu, koristi se za izračun rizične vrijednosti (VaR) pronalaženjem pragova na određenim razinama pouzdanosti (npr. 0,7, 0,8, 0,9).
dinvweibull()	Izračunava funkciju gustoće vjerojatnosti (PDF) za inverznu Weibullovu distribuciju. Koristi se unutar funkcije integranda za izračun očekivanih gubitaka repa za izračun TVaR-a.
integrate()	Izvodi numeričku integraciju. Ovdje se koristi za izračunavanje repa distribucije iznad VaR praga. Pogreška se javlja kada integracija postane neograničena, što je temeljni problem članka.
subdivisions	Argument proslijeđen funkciji integrate() koja kontrolira broj podjela korištenih u numeričkoj integraciji. Povećanjem ove vrijednosti pokušava se poboljšati preciznost, ali ne rješava uvijek probleme divergencije.
test_that()	dio paket, ova funkcija definira jedinični test. Ovdje se koristi za provjeru daje li Monte Carlo simulacija valjanu rizičnu vrijednost repa (TVaR), čime se osigurava pouzdanost rješenja.
quantile()	Izračunava kvantile zadanog skupa podataka. U Monte Carlo pristupu koristi se za izračunavanje VaR-a pronalaženjem 70. percentila simuliranih inverznih Weibullovih podataka.

Rješavanje problema s izračunom TVaR-a u inverznoj Weibullovoj distribuciji

Gore stvorene skripte usmjerene su na izračun rizične vrijednosti repa (TVaR) za inverznu Weibullovu distribuciju. TVaR se koristi za procjenu očekivanog gubitka u ekstremnim zadnjim događajima, što ga čini kritičnom metrikom u upravljanju rizikom, posebno u područjima kao što su osiguranje i financije. Prva skripta koristi tradicionalnu numeričku integraciju za izračunavanje TVaR-a, što nažalost dovodi do pogreške zbog . To se događa zato što integral za distribuciju repa može postati neograničen, posebno kada se radi o distribucijama s teškim repom kao što je inverzna Weibullova distribucija.

Jedna ključna naredba u ovom procesu je funkcija koja izvodi numeričku integraciju preko repa distribucije. Greška nastaje kada se integracija produži u beskonačnost i tu je problem. Kako bismo to ublažili, pokušavamo ograničiti integraciju pomoću kvantila izvedenih iz inverzne Weibullove distribucije. Naredbe poput pomoći u tom pogledu dopuštajući nam da izračunamo rizičnu vrijednost (VaR) na različitim razinama pouzdanosti (npr. 70%, 80%, 90%). Korištenjem ovih kvantila nastojimo kontrolirati raspon integrala i smanjiti divergenciju.

Drugi pristup ide drugačijim putem korištenjem . Umjesto da se oslanja na analitičku integraciju, simulira tisuće slučajnih vrijednosti iz inverzne Weibullove distribucije koristeći naredba. Ova metoda zaobilazi problem integralne divergencije generiranjem empirijskih podataka i izračunavanjem TVaR na temelju srednjeg gubitka iznad VaR praga. Ovo je osobito korisno kada se radi o distribucijama koje je teško analitički integrirati, jer pruža fleksibilniju, iako računalno intenzivniju alternativu.

Kako bi se osigurala robusnost ovih metoda, provodi se i jedinično testiranje. The funkcija iz paket se koristi za provjeru valjanosti rezultata Monte Carlo simulacije. Pokretanjem ovih testova provjeravamo jesu li simulirane TVaR vrijednosti logične i nenegativne. Ovaj proces testiranja pomaže osigurati da rješenja ne samo da ispravno rade u teoriji, već i daju valjane rezultate u različitim okruženjima. Ovaj pristup čini skripte modularnim i višekratno upotrebljivim za slične izračune rizika u drugim kontekstima.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Rješavanje izazova TVaR izračuna za distribucije s teškim repom

Pri izračunavanju rizične vrijednosti repa (TVaR) za distribucije s teškim repovima, kao što je Inverzni Weibullov, jedan od ključnih izazova je suočavanje s ponašanjem distribucije u njezinom ekstremnom repu. Ovdje se može pojaviti integralna divergencija, što dovodi do problema s računanjem. Temeljni aspekt ovog problema proizlazi iz toga kako se rep ponaša na vrlo visokim kvantilima, gdje male varijacije u parametrima mogu dovesti do značajnih razlika u izračunatoj metrici rizika. Razumijevanje kako upravljati tim ekstremima ključno je za osiguravanje točne procjene rizika.

Još jedan relevantan faktor koji treba uzeti u obzir pri radu s TVaR izračunima je metoda rukovanja beskonačnim gornjim granicama tijekom integracije. U praktičnom smislu, mnoge aplikacije za upravljanje rizikom postavljaju veliku, ali konačnu gornju granicu kako bi se izbjegli problemi s odstupanjem. Ovaj pristup pomaže u kontroli izračuna, posebno u situacijama u kojima je teško izvesti točna matematička rješenja. Metode kao što su ograničavanje integrala ili primjena Monte Carlo simulacija omogućuju stabilnije rezultate dok još uvijek hvataju bit rizika u repu.

Monte Carlo simulacije, kao što je objašnjeno u prethodnim rješenjima, izvrsna su alternativa za prevladavanje zamki izravne integracije. Generiranjem velikog skupa slučajnih uzoraka iz inverzne Weibullove distribucije, možete empirijski procijeniti očekivane gubitke. Ovaj je pristup vrlo fleksibilan i izbjegava potrebu za složenom matematičkom integracijom, što ga čini preferiranom metodom pri radu s distribucijama gdje tradicionalne metode ne uspijevaju. Osobito je koristan za podatke s teškim repom, gdje ponašanje ekstremnih događaja može biti teško predvidjeti korištenjem standardnih modela.

1. Što je TVaR i po čemu se razlikuje od VaR-a?
2. TVaR, ili Tail Value at Risk, procjenjuje prosječni gubitak iznad praga Value at Risk (VaR), nudeći sveobuhvatniju metriku rizika od VaR-a, koja bilježi samo najveći očekivani gubitak na danoj razini pouzdanosti.
3. Zašto se greška funkcije pri izračunavanju TVaR za inverzni Weibull?
4. The funkcija ne uspijeva zbog prirode inverzne Weibullove distribucije koja ima veliki rep. Integral postaje neograničen, što dovodi do pogreške divergencije.
5. Kako mogu spriječiti integralnu divergenciju u svojim izračunima?
6. Kako biste spriječili divergenciju, možete postaviti konačnu gornju granicu za integraciju ili koristiti Monte Carlo simulaciju putem funkcija za procjenu TVaR-a bez oslanjanja na izravnu integraciju.
7. Koje su prednosti Monte Carlo simulacija u TVaR izračunima?
8. Monte Carlo simulacije su robusne i fleksibilne. Oni generiraju nasumične podatkovne točke iz distribucije, pomažući vam da empirijski izračunate TVaR bez potrebe za rješavanjem složenih integrala.
9. Postoji li način da se testira točnost Monte Carlo metode u R?
10. Da, koristeći funkcija iz paket vam omogućuje pisanje jediničnih testova koji provjeravaju točnost rezultata Monte Carlo simulacije.

Primarni problem s izračunavanjem TVaR za inverznu Weibullovu distribuciju je pojava divergencije integrala, koja proizlazi iz pokušaja izračunavanja neograničenog integrala. Kako bi se to riješilo, predložena su dva pristupa: korištenje konačne gornje granice za integraciju ili korištenje Monte Carlo simulacija. Potonji nudi veću fleksibilnost simuliranjem podataka i zaobilaženjem složenih izračuna.

Svaka je metoda dizajnirana imajući na umu optimizaciju, osiguravajući da su rješenja računalno učinkovita i točna. Korištenjem ovih pristupa može se izbjeći problem divergencije, omogućujući izračunavanje pouzdanijih metrika rizika za distribucije s teškim repom kao što je inverzna Weibullova.