Integrális eltérés rögzítése az inverz Weibull-eloszlás kockáztatott végértékében (TVaR)

Az integráldivergencia megértése a TVaR-számításban

A kockáztatott farokérték (TVaR) kulcsfontosságú mérőszám a kockázatkezelésben, különösen a szélsőséges események modellezésével összefüggésben. Az Inverse Weibull-hoz hasonló disztribúciók használatakor azonban a TVaR kiszámítása néha összetett problémákhoz vezethet, például integrált eltérésekhez.

Ebben a cikkben egy speciális problémát tárunk fel, amely az inverz Weibull-eloszlás TVaR-értékének kiszámításakor merült fel. Ez a probléma az integrációs folyamat során merül fel, és hibákhoz vezethet, amelyek azt jelzik, hogy az integrál eltérő lehet.

Annak ellenére, hogy megpróbálták módosítani a paramétereket, például növelték az alosztások számát az integrációban, a hiba továbbra is fennáll. Annak megértése, hogy ez miért történik, és hogyan lehet ezt kijavítani, elengedhetetlen mindenki számára, aki a biztosításmatematikai tudomány vagy a pénzügyi kockázatelemzés területén nehéz eloszlással dolgozik.

Végigjárjuk a problémát, azonosítjuk az integrált eltérés lehetséges okait, és javaslatokat teszünk a probléma hatékony megoldására. A cikk végére gyakorlati stratégiákkal fog rendelkezni a TVaR-számítások hasonló kihívásainak leküzdésére.

TVaR-számítási problémák megoldása az inverz Weibull-eloszlásban

A fent létrehozott szkriptek az inverz Weibull-eloszlás esetén a kockázatos végérték (TVaR) kiszámítására összpontosítanak. A TVaR-t a szélsőséges esetek várható veszteségének becslésére használják, így a kockázatkezelés kritikus mérőszáma, különösen olyan területeken, mint a biztosítás és a pénzügy. Az első szkript hagyományos numerikus integrációt használ a TVaR kiszámításához, ami sajnos hibához vezet integrál divergencia. Ez azért van így, mert a farokeloszlás integrálja korlátlanná válhat, különösen akkor, ha nehéz farkú eloszlásokkal foglalkozunk, mint például az Inverse Weibull.

Az egyik kulcsparancs ebben a folyamatban a integrál() függvény, amely numerikus integrációt hajt végre az eloszlás farkán keresztül. A hiba akkor keletkezik, amikor az integráció a végtelenségig terjed, és itt van a probléma. Ennek enyhítésére megkíséreljük az integrációt az Inverse Weibull-eloszlásból származó kvantilisek segítségével kötni. Parancsok, mint qinvweibull() segít ebben a tekintetben azáltal, hogy lehetővé teszi számunkra a kockázati érték (VaR) kiszámítását különböző megbízhatósági szinteken (például 70%, 80%, 90%). Ezen kvantilisek használatával az integrál tartományának szabályozására és a divergencia csökkentésére törekszünk.

A második megközelítés más utat választ a használatával Monte Carlo szimuláció. Ahelyett, hogy az analitikai integrációra hagyatkozna, több ezer véletlenszerű értéket szimulál az Inverz Weibull-eloszlásból a rinvweibull() parancs. Ez a módszer megkerüli az integrál divergencia problémát azáltal, hogy empirikus adatokat generál, és a VaR küszöbérték feletti átlagos veszteség alapján számítja ki a TVaR-t. Ez különösen akkor hasznos, ha olyan disztribúciókkal foglalkozunk, amelyek analitikailag nehezen integrálhatók, mivel rugalmasabb, bár számításigényes alternatívát kínál.

Ezen módszerek robusztusságának biztosítása érdekében egységtesztet is végrehajtanak. A teszt_that() funkció a teszteld azt csomagot használják a Monte Carlo szimuláció eredményeinek validálására. A tesztek futtatásával ellenőrizzük, hogy a szimulált TVaR értékek logikaiak és nem negatívak. Ez a tesztelési folyamat segít annak biztosításában, hogy a megoldások ne csak elméletben megfelelően működjenek, hanem érvényes eredményeket adjanak a különböző környezetekben. Ez a megközelítés modulárissá teszi a szkripteket, és újra felhasználhatóvá teszi a hasonló kockázati számításokhoz más környezetben.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

A nehézfarkú disztribúciók TVaR-számítási kihívásainak kezelése

A kockáztatott farokérték (TVaR) kiszámításakor nehéz farkú disztribúciókhoz, mint például az Inverse Weibull, az egyik kulcsfontosságú kihívás a disztribúció extrém farkában való viselkedésének kezelése. Ez az a hely, ahol integrált divergencia léphet fel, ami számítási problémákhoz vezethet. A probléma alapvető aspektusa abból adódik, hogy a farok hogyan viselkedik nagyon magas kvantilisoknál, ahol a paraméterek kis eltérései jelentős eltérésekhez vezethetnek a számított kockázati mutatóban. Ezen szélsőségek kezelésének megértése kritikus fontosságú a pontos kockázatértékelés biztosításához.

Egy másik lényeges tényező, amelyet figyelembe kell venni a TVaR-számításokkal végzett munka során, a végtelen felső határok integráció során történő kezelésének módja. Gyakorlatilag sok kockázatkezelési alkalmazás nagy, de véges felső határt határoz meg az eltérések elkerülése érdekében. Ez a megközelítés segít a számítás szabályozásában, különösen olyan helyzetekben, amikor nehéz pontos matematikai megoldásokat levezetni. Az olyan módszerek, mint az integrál behatárolása vagy a Monte Carlo-szimulációk alkalmazása stabilabb eredményeket tesznek lehetővé, miközben megragadják a kockázat lényegét a farokban.

A Monte Carlo szimulációk, amint azt a korábbi megoldásokban tárgyaltuk, kiváló alternatívát jelentenek a közvetlen integráció buktatóinak leküzdésére. Az Inverz Weibull-eloszlásból véletlenszerű minták nagy halmazának generálásával empirikusan megbecsülheti a várható veszteségeket. Ez a megközelítés rendkívül rugalmas, és elkerüli a bonyolult matematikai integráció szükségességét, így előnyben részesített módszer olyan disztribúciók esetében, ahol a hagyományos módszerek kudarcot vallanak. Különösen hasznos a nehéz farkú adatok esetében, ahol a szélsőséges események viselkedését nehéz megjósolni szabványos modellekkel.