Memperbaiki Divergensi Integral pada Nilai Ekor Beresiko (TVaR) Distribusi Weibull Terbalik

Memahami Divergensi Integral dalam Perhitungan TVaR

Tail Value at Risk (TVaR) adalah metrik penting dalam manajemen risiko, terutama dalam konteks pemodelan kejadian ekstrem. Namun, ketika menggunakan distribusi seperti Inverse Weibull, penghitungan TVaR terkadang dapat menimbulkan masalah yang kompleks, seperti divergensi integral.

Pada artikel ini, kami mengeksplorasi masalah spesifik yang dihadapi saat menghitung TVaR untuk distribusi Inverse Weibull. Masalah ini muncul selama proses integrasi, dan dapat menyebabkan kesalahan yang menunjukkan bahwa integralnya mungkin berbeda.

Meskipun ada upaya untuk menyesuaikan parameter, seperti menambah jumlah subdivisi dalam integrasi, kesalahan tetap ada. Memahami mengapa hal ini terjadi dan bagaimana cara memperbaikinya sangat penting bagi siapa pun yang bekerja dengan distribusi berat dalam ilmu aktuaria atau analisis risiko keuangan.

Kami akan membahas masalahnya, mengidentifikasi kemungkinan penyebab divergensi integral, dan memberikan saran tentang cara mengatasi masalah ini secara efektif. Di akhir artikel ini, Anda akan dibekali dengan strategi praktis untuk mengatasi tantangan serupa dalam komputasi TVaR.

Menyelesaikan Masalah Perhitungan TVaR pada Distribusi Weibull Terbalik

Script yang dibuat di atas difokuskan pada penghitungan Tail Value at Risk (TVaR) untuk distribusi Inverse Weibull. TVaR digunakan untuk memperkirakan perkiraan kerugian dalam kejadian-kejadian ekstrem, menjadikannya metrik penting dalam manajemen risiko, khususnya di bidang-bidang seperti asuransi dan keuangan. Skrip pertama menggunakan integrasi numerik tradisional untuk menghitung TVaR, yang sayangnya menyebabkan kesalahan divergensi integral. Hal ini terjadi karena integral distribusi ekor menjadi tidak terbatas, terutama ketika berhadapan dengan distribusi ekor berat seperti Inverse Weibull.

Salah satu perintah kunci dalam proses ini adalah mengintegrasikan() fungsi, yang melakukan integrasi numerik pada ekor distribusi. Kesalahan muncul ketika integrasi meluas hingga tak terhingga, dan di sinilah letak masalahnya. Untuk mengurangi hal ini, kami mencoba membatasi integrasi menggunakan kuantil yang berasal dari distribusi Inverse Weibull. Perintah seperti qinvweibull() membantu dalam hal ini dengan memungkinkan kami menghitung Value at Risk (VaR) pada berbagai tingkat kepercayaan (misalnya 70%, 80%, 90%). Dengan menggunakan kuantil ini, kami bertujuan untuk mengontrol jangkauan integral dan mengurangi divergensi.

Pendekatan kedua mengambil rute yang berbeda dengan menggunakan Simulasi Monte Carlo. Daripada mengandalkan integrasi analitik, ia mensimulasikan ribuan nilai acak dari distribusi Inverse Weibull menggunakan rinvweibull() memerintah. Metode ini menghindari masalah divergensi integral dengan menghasilkan data empiris dan menghitung TVaR berdasarkan mean loss di atas ambang batas VaR. Hal ini sangat berguna ketika menangani distribusi yang sulit untuk diintegrasikan secara analitis, karena memberikan alternatif yang lebih fleksibel, meskipun intensif secara komputasi.

Untuk memastikan ketahanan metode ini, pengujian unit juga diterapkan. Itu tes_itu() fungsi dari uji itu paket digunakan untuk memvalidasi hasil simulasi Monte Carlo. Dengan menjalankan pengujian ini, kami memverifikasi bahwa nilai TVaR yang disimulasikan adalah logis dan non-negatif. Proses pengujian ini membantu memastikan bahwa solusi tidak hanya berfungsi dengan benar secara teori namun juga memberikan hasil yang valid di berbagai lingkungan. Pendekatan ini menjadikan skrip bersifat modular dan dapat digunakan kembali untuk penghitungan risiko serupa dalam konteks lain.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Mengatasi Tantangan Penghitungan TVaR untuk Distribusi Ekor Berat

Saat menghitung Tail Value at Risk (TVaR) untuk distribusi dengan ekor yang berat, seperti Inverse Weibull, salah satu tantangan utamanya adalah menangani perilaku distribusi pada bagian ekor yang ekstrim. Di sinilah divergensi integral dapat terjadi, yang menyebabkan masalah komputasi. Aspek mendasar dari masalah ini berasal dari perilaku ekor pada kuantil yang sangat tinggi, yaitu variasi kecil dalam parameter dapat menyebabkan perbedaan signifikan dalam metrik risiko yang dihitung. Memahami cara mengelola kondisi ekstrem ini sangat penting untuk memastikan penilaian risiko yang akurat.

Faktor relevan lainnya yang perlu dipertimbangkan saat bekerja dengan penghitungan TVaR adalah metode penanganan batas atas tak terhingga selama integrasi. Dalam praktiknya, banyak aplikasi manajemen risiko menetapkan batas atas yang besar namun terbatas untuk menghindari masalah divergensi. Pendekatan ini membantu mengendalikan komputasi, terutama dalam situasi di mana solusi matematis eksak mungkin sulit diperoleh. Metode seperti membatasi integral atau menerapkan simulasi Monte Carlo memungkinkan hasil yang lebih stabil sambil tetap menangkap esensi risiko di bagian ekor.

Simulasi Monte Carlo, seperti yang dibahas dalam solusi sebelumnya, merupakan alternatif yang sangat baik untuk mengatasi kendala integrasi langsung. Dengan menghasilkan sejumlah besar sampel acak dari distribusi Inverse Weibull, Anda dapat memperkirakan kerugian yang diperkirakan secara empiris. Pendekatan ini sangat fleksibel dan menghindari kebutuhan akan integrasi matematis yang rumit, menjadikannya metode yang disukai ketika bekerja dengan distribusi di mana metode tradisional gagal. Hal ini sangat berguna untuk data heavy-tailed, dimana perilaku kejadian ekstrim sulit diprediksi menggunakan model standar.