Correzione della divergenza integrale nel valore a rischio della coda della distribuzione di Weibull inversa (TVaR)

Comprendere la divergenza integrale nel calcolo del TVaR

Il Tail Value at Risk (TVaR) è una metrica cruciale nella gestione del rischio, soprattutto nel contesto della modellizzazione di eventi estremi. Tuttavia, quando si utilizzano distribuzioni come Inverse Weibull, il calcolo del TVaR può talvolta portare a problemi complessi, come la divergenza integrale.

In questo articolo esploriamo un problema specifico riscontrato durante il calcolo del TVaR per una distribuzione di Weibull inversa. Questo problema sorge durante il processo di integrazione e può portare a errori che indicano che l'integrale potrebbe essere divergente.

Nonostante i tentativi di aggiustare i parametri, come aumentare il numero di suddivisioni nell’integrazione, l’errore persiste. Capire perché ciò accade e come correggerlo è essenziale per chiunque lavori con distribuzioni a coda pesante nella scienza attuariale o nell’analisi del rischio finanziario.

Esamineremo il problema, identificheremo le possibili ragioni della divergenza integrale e forniremo suggerimenti su come risolvere questo problema in modo efficace. Alla fine di questo articolo sarai dotato di strategie pratiche per superare sfide simili nei calcoli TVaR.

Risoluzione dei problemi di calcolo del TVaR nella distribuzione di Weibull inversa

Gli script creati sopra si concentrano sul calcolo del Tail Value at Risk (TVaR) per una distribuzione Weibull inversa. Il TVaR viene utilizzato per stimare la perdita attesa in eventi estremi, rendendolo una metrica fondamentale nella gestione del rischio, in particolare in settori come quello assicurativo e finanziario. Il primo script utilizza la tradizionale integrazione numerica per calcolare il TVaR, il che purtroppo porta a un errore dovuto a divergenza integrale. Ciò si verifica perché l'integrale per la distribuzione della coda può diventare illimitato, specialmente quando si ha a che fare con distribuzioni a coda pesante come il Weibull inverso.

Un comando chiave in questo processo è il integrare() funzione, che esegue l’integrazione numerica sulla coda della distribuzione. L'errore nasce quando l'integrazione si estende all'infinito, ed è qui che sta il problema. Per mitigare questo, tentiamo di limitare l'integrazione utilizzando quantili derivati ​​dalla distribuzione di Weibull inversa. Comandi come qinvweibull() aiutano in questo senso permettendoci di calcolare il Value at Risk (VaR) a vari livelli di confidenza (ad esempio, 70%, 80%, 90%). Utilizzando questi quantili, miriamo a controllare la gamma dell'integrale e ridurre la divergenza.

Il secondo approccio prende una strada diversa utilizzando Simulazione Montecarlo. Invece di fare affidamento sull'integrazione analitica, simula migliaia di valori casuali dalla distribuzione di Weibull inversa utilizzando il metodo rinvweibull() comando. Questo metodo aggira il problema della divergenza integrale generando dati empirici e calcolando il TVaR in base alla perdita media al di sopra della soglia del VaR. Ciò è particolarmente utile quando si ha a che fare con distribuzioni difficili da integrare analiticamente, poiché fornisce un’alternativa più flessibile, anche se computazionalmente impegnativa.

Per garantire la robustezza di questi metodi, vengono implementati anche i test unitari. IL prova_quello() funzione da provaquello Il pacchetto viene utilizzato per convalidare i risultati della simulazione Monte Carlo. Eseguendo questi test, verifichiamo che i valori TVaR simulati siano logici e non negativi. Questo processo di test aiuta a garantire che le soluzioni non solo funzionino correttamente in teoria ma producano anche risultati validi in ambienti diversi. Questo approccio rende gli script modulari e riutilizzabili per calcoli di rischio simili in altri contesti.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Affrontare le sfide del calcolo del TVaR per le distribuzioni a coda pesante

Quando si calcola il Tail Value at Risk (TVaR) per distribuzioni con code pesanti, come il Weibull inverso, una sfida chiave è affrontare il comportamento della distribuzione nella sua coda estrema. È qui che può verificarsi una divergenza integrale, che porta a problemi computazionali. Un aspetto fondamentale di questo problema deriva dal modo in cui la coda si comporta a quantili molto elevati, dove piccole variazioni nei parametri possono portare a differenze significative nella metrica di rischio calcolata. Comprendere come gestire questi estremi è fondamentale per garantire valutazioni accurate del rischio.

Un altro fattore rilevante da considerare quando si lavora con i calcoli TVaR è il metodo di gestione dei limiti superiori infiniti durante l'integrazione. In termini pratici, molte applicazioni di gestione del rischio fissano un limite superiore ampio, ma finito, per evitare problemi di divergenza. Questo approccio aiuta a controllare il calcolo, soprattutto in situazioni in cui potrebbe essere difficile ricavare soluzioni matematiche esatte. Metodi come il limite dell’integrale o l’applicazione di simulazioni Monte Carlo consentono risultati più stabili pur catturando l’essenza del rischio nella coda.

Le simulazioni Monte Carlo, come discusso nelle soluzioni precedenti, rappresentano un'ottima alternativa per superare le insidie ​​dell'integrazione diretta. Generando un ampio insieme di campioni casuali dalla distribuzione di Weibull inversa, è possibile stimare empiricamente le perdite attese. Questo approccio è altamente flessibile ed evita la necessità di complesse integrazioni matematiche, rendendolo il metodo preferito quando si lavora con distribuzioni in cui i metodi tradizionali falliscono. È particolarmente utile per i dati con code pesanti, in cui il comportamento di eventi estremi può essere difficile da prevedere utilizzando modelli standard.