इनव्हर्स वेइबुल डिस्ट्रिब्युशनच्या टेल व्हॅल्यू ॲट रिस्क (TVaR) मध्ये इंटिग्रल डायव्हर्जन्स फिक्सिंग

TVaR गणनेतील इंटिग्रल डायव्हर्जन्स समजून घेणे

टेल व्हॅल्यू ॲट रिस्क (TVaR) हे जोखीम व्यवस्थापनातील एक महत्त्वपूर्ण मेट्रिक आहे, विशेषत: अत्यंत घटनांच्या मॉडेलिंगच्या संदर्भात. तथापि, Inverse Weibull सारखे वितरण वापरताना, TVaR ची गणना केल्याने कधीकधी जटिल समस्या उद्भवू शकतात, जसे की अविभाज्य विचलन.

या लेखात, आम्ही Inverse Weibull वितरणासाठी TVaR ची गणना करताना आलेल्या विशिष्ट समस्येचे अन्वेषण करतो. ही समस्या एकत्रीकरण प्रक्रियेदरम्यान उद्भवते आणि त्यामुळे अविभाज्य असू शकते हे दर्शवणाऱ्या त्रुटी येऊ शकतात.

समाकलनातील उपविभागांची संख्या वाढविण्यासारखे पॅरामीटर्स समायोजित करण्याचा प्रयत्न असूनही, त्रुटी कायम आहे. हे का घडते आणि ते कसे दुरुस्त करावे हे समजून घेणे, वास्तविक विज्ञान किंवा आर्थिक जोखीम विश्लेषणामध्ये हेवी-टेल्ड डिस्ट्रिब्युशनसह काम करणाऱ्या प्रत्येकासाठी आवश्यक आहे.

आम्ही समस्येचा अभ्यास करू, अविभाज्य विचलनाची संभाव्य कारणे ओळखू आणि या समस्येचे प्रभावीपणे निराकरण कसे करावे याबद्दल सूचना देऊ. या लेखाच्या शेवटी, तुम्ही TVaR गणनेतील समान आव्हानांवर मात करण्यासाठी व्यावहारिक धोरणांसह सुसज्ज असाल.

Inverse Weibull वितरणामध्ये TVaR गणना समस्यांचे निराकरण करणे

वर तयार केलेल्या स्क्रिप्ट्स इनव्हर्स वेइबुल वितरणासाठी टेल व्हॅल्यू ॲट रिस्क (TVaR) मोजण्यावर केंद्रित आहेत. TVaR चा वापर अत्यंत टेल इव्हेंटमध्ये अपेक्षित नुकसानाचा अंदाज लावण्यासाठी केला जातो, ज्यामुळे तो जोखीम व्यवस्थापनात, विशेषत: विमा आणि वित्त यांसारख्या क्षेत्रांमध्ये एक महत्त्वपूर्ण मेट्रिक बनतो. पहिली स्क्रिप्ट TVaR ची गणना करण्यासाठी पारंपारिक संख्यात्मक एकीकरण वापरते, ज्यामुळे दुर्दैवाने त्रुटी येते अविभाज्य विचलन. हे घडते कारण पूंछ वितरणाचा अविभाज्य भाग अमर्यादित होऊ शकतो, विशेषत: इनव्हर्स वेइबुल सारख्या भारी-पुच्छ वितरणाशी व्यवहार करताना.

या प्रक्रियेतील एक प्रमुख कमांड आहे समाकलित () फंक्शन, जे वितरणाच्या शेपटीवर संख्यात्मक एकत्रीकरण करते. जेव्हा एकीकरण अनंतापर्यंत वाढते तेव्हा त्रुटी उद्भवते आणि येथेच समस्या आहे. हे कमी करण्यासाठी, आम्ही इनव्हर्स वेइबुल वितरणातून मिळवलेल्या क्वांटाइल्सचा वापर करून एकत्रीकरण बांधण्याचा प्रयत्न करतो. सारखे आदेश qinvweibull() आम्हाला विविध आत्मविश्वास स्तरांवर (उदा. 70%, 80%, 90%) जोखमीचे मूल्य (VaR) मोजण्याची परवानगी देऊन या संदर्भात मदत करा. या क्वांटाइल्सचा वापर करून, आम्ही इंटिग्रलची श्रेणी नियंत्रित करणे आणि विचलन कमी करण्याचे उद्दिष्ट ठेवतो.

दुसरा दृष्टिकोन वापरून वेगळा मार्ग घेतो मोंटे कार्लो सिम्युलेशन. विश्लेषणात्मक एकत्रीकरणावर अवलंबून राहण्याऐवजी, ते इन्व्हर्स वेइबुल वितरणातून हजारो यादृच्छिक मूल्यांचे अनुकरण करते rinvweibull() आज्ञा ही पद्धत अनुभवजन्य डेटा व्युत्पन्न करून आणि VaR थ्रेशोल्डच्या वरच्या सरासरी नुकसानावर आधारित TVaR ची गणना करून अविभाज्य विचलन समस्येस प्रतिबंध करते. विश्लेषणात्मकरित्या एकत्रित करणे कठीण असलेल्या वितरणांशी व्यवहार करताना हे विशेषतः उपयुक्त आहे, कारण ते अधिक लवचिक प्रदान करते, जरी संगणकीयदृष्ट्या गहन, पर्यायी.

या पद्धतींची मजबूती सुनिश्चित करण्यासाठी, युनिट चाचणी देखील लागू केली जाते. द चाचणी_ते() पासून कार्य चाचणी की मॉन्टे कार्लो सिम्युलेशनचे परिणाम प्रमाणित करण्यासाठी पॅकेजचा वापर केला जातो. या चाचण्या चालवून, आम्ही सिम्युलेटेड TVaR मूल्ये तार्किक आणि नकारात्मक नसल्याची पडताळणी करतो. चाचणीची ही प्रक्रिया हे सुनिश्चित करण्यात मदत करते की उपाय केवळ सिद्धांतानुसार योग्यरित्या कार्य करत नाहीत तर विविध वातावरणात वैध परिणाम देखील देतात. हा दृष्टीकोन स्क्रिप्ट्सला मॉड्यूलर बनवते आणि इतर संदर्भांमध्ये समान जोखीम मोजण्यासाठी पुन्हा वापरण्यायोग्य बनवते.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

१

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

हेवी-टेल्ड वितरणासाठी TVaR गणना आव्हाने संबोधित करणे

इन्व्हर्स वेइबुल सारख्या जड शेपटी असलेल्या वितरणासाठी टेल व्हॅल्यू ॲट रिस्क (TVaR) ची गणना करताना, एक प्रमुख आव्हान म्हणजे त्याच्या अत्यंत शेपटीत वितरणाच्या वर्तनाचा सामना करणे. येथेच अविभाज्य विचलन होऊ शकते, ज्यामुळे संगणकीय समस्या उद्भवू शकतात. या समस्येचा एक मूलभूत पैलू शेपूट खूप उच्च परिमाणांवर कसे वागते यावरून उद्भवते, जेथे पॅरामीटर्समधील लहान फरक गणना केलेल्या जोखीम मेट्रिकमध्ये महत्त्वपूर्ण फरक आणू शकतात. अचूक जोखीम मूल्यांकन सुनिश्चित करण्यासाठी या टोकाचे व्यवस्थापन कसे करावे हे समजून घेणे महत्वाचे आहे.

TVaR गणनेसह कार्य करताना विचारात घेण्यासाठी आणखी एक संबंधित घटक म्हणजे एकीकरणादरम्यान अनंत वरच्या सीमा हाताळण्याची पद्धत. व्यावहारिक दृष्टीने, अनेक जोखीम व्यवस्थापन ऍप्लिकेशन्स भिन्नता असलेल्या समस्या टाळण्यासाठी एक मोठी, परंतु मर्यादित, वरची मर्यादा सेट करतात. हा दृष्टीकोन गणनेवर नियंत्रण ठेवण्यास मदत करतो, विशेषत: अशा परिस्थितीत जेथे अचूक गणिती उपाय काढणे कठीण असते. इंटिग्रलला बाउंडिंग करणे किंवा मॉन्टे कार्लो सिम्युलेशन लागू करणे यासारख्या पद्धती शेपटातील जोखमीचे सार कॅप्चर करताना अधिक स्थिर परिणामांची अनुमती देतात.

मॉन्टे कार्लो सिम्युलेशन, मागील सोल्यूशन्समध्ये चर्चा केल्याप्रमाणे, थेट एकत्रीकरणाच्या अडचणींवर मात करण्यासाठी एक उत्कृष्ट पर्याय आहे. Inverse Weibull वितरणातून यादृच्छिक नमुन्यांचा एक मोठा संच तयार करून, तुम्ही अपेक्षित नुकसानाचा प्रायोगिकपणे अंदाज लावू शकता. हा दृष्टीकोन अत्यंत लवचिक आहे आणि जटिल गणिती एकात्मतेची आवश्यकता टाळतो, पारंपारिक पद्धती अयशस्वी झालेल्या वितरणांसह कार्य करताना ती एक प्राधान्य पद्धत बनवते. हे विशेषत: हेवी-टेल्ड डेटासाठी उपयुक्त आहे, जेथे मानक मॉडेल वापरून अत्यंत घटनांच्या वर्तनाचा अंदाज लावणे कठीण होऊ शकते.