Å fikse integrert divergens i den inverse Weibull-distribusjonens haleverdi ved risiko (TVaR)

Forstå integraldivergens i TVaR-beregning

Tail Value at Risk (TVaR) er en avgjørende beregning i risikostyring, spesielt i sammenheng med modellering av ekstreme hendelser. Men når du bruker distribusjoner som Inverse Weibull, kan beregning av TVaR noen ganger føre til komplekse problemer, for eksempel integrert divergens.

I denne artikkelen utforsker vi et spesifikt problem som oppstår ved beregning av TVaR for en invers Weibull-fordeling. Dette problemet oppstår under integreringsprosessen, og det kan føre til feil som indikerer at integralet kan være divergerende.

Til tross for forsøk på å justere parametere, som å øke antall underavdelinger i integrasjonen, vedvarer feilen. Å forstå hvorfor dette skjer og hvordan man kan korrigere det er avgjørende for alle som jobber med tunge fordelinger innen aktuarvitenskap eller finansiell risikoanalyse.

Vi vil gå gjennom problemet, identifisere mulige årsaker til integrert divergens og gi forslag til hvordan vi kan løse dette problemet effektivt. Mot slutten av denne artikkelen vil du være utstyrt med praktiske strategier for å overvinne lignende utfordringer i TVaR-beregninger.

Løse TVaR-beregningsproblemer i invers Weibull-distribusjon

Skriptene opprettet ovenfor er fokusert på å beregne Tail Value at Risk (TVaR) for en invers Weibull-distribusjon. TVaR brukes til å estimere det forventede tapet i ekstreme halehendelser, noe som gjør det til en kritisk beregning i risikostyring, spesielt innen felt som forsikring og finans. Det første scriptet bruker tradisjonell numerisk integrasjon for å beregne TVaR, noe som dessverre fører til feil pga. integrert divergens. Dette skjer fordi integralet for halefordelingen kan bli ubegrenset, spesielt når man har å gjøre med tunghalefordelinger som Inverse Weibull.

En nøkkelkommando i denne prosessen er integrere() funksjon, som utfører numerisk integrasjon over distribusjonens hale. Feilen oppstår når integrasjonen strekker seg til det uendelige, og det er her problemet ligger. For å dempe dette prøver vi å binde integrasjonen ved å bruke kvantiler avledet fra den inverse Weibull-fordelingen. Kommandoer som qinvweibull() hjelp i denne forbindelse ved å la oss beregne Value at Risk (VaR) på ulike konfidensnivåer (f.eks. 70 %, 80 %, 90 %). Ved å bruke disse kvantilene tar vi sikte på å kontrollere rekkevidden til integralet og redusere divergens.

Den andre tilnærmingen tar en annen rute ved å bruke Monte Carlo simulering. I stedet for å stole på analytisk integrasjon, simulerer den tusenvis av tilfeldige verdier fra den inverse Weibull-fordelingen ved å bruke rinvweibull() kommando. Denne metoden omgår problemet med integrert divergens ved å generere empiriske data og beregne TVaR basert på gjennomsnittstapet over VaR-terskelen. Dette er spesielt nyttig når man arbeider med distribusjoner som er vanskelige å integrere analytisk, siden det gir et mer fleksibelt, om enn beregningsintensivt alternativ.

For å sikre robustheten til disse metodene implementeres også enhetstesting. De test_that() funksjon fra test det pakken brukes til å validere resultatene av Monte Carlo-simuleringen. Ved å kjøre disse testene bekrefter vi at de simulerte TVaR-verdiene er logiske og ikke-negative. Denne testprosessen bidrar til å sikre at løsningene ikke bare fungerer korrekt i teorien, men også gir gyldige resultater på tvers av ulike miljøer. Denne tilnærmingen gjør skriptene modulære og gjenbrukbare for lignende risikoberegninger i andre sammenhenger.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Ta tak i TVaR-beregningsutfordringer for tunghalede distribusjoner

Når man beregner Tail Value at Risk (TVaR) for distribusjoner med tunge haler, slik som Inverse Weibull, er en nøkkelutfordring å håndtere oppførselen til distribusjonen i dens ekstreme hale. Det er her integrert divergens kan oppstå, noe som fører til beregningsproblemer. Et grunnleggende aspekt ved denne problemstillingen stammer fra hvordan halen oppfører seg ved svært høye kvantiler, hvor små variasjoner i parametere kan føre til betydelige forskjeller i den beregnede risikometrikken. Å forstå hvordan man håndterer disse ekstremene er avgjørende for å sikre nøyaktige risikovurderinger.

En annen relevant faktor å vurdere når man arbeider med TVaR-beregninger er metoden for å håndtere uendelige øvre grenser under integrasjon. Rent praktisk setter mange risikostyringsapplikasjoner en stor, men begrenset øvre grense for å unngå problemer med divergens. Denne tilnærmingen hjelper til med å kontrollere beregningen, spesielt i situasjoner der eksakte matematiske løsninger kan være vanskelig å utlede. Metoder som å begrense integralet eller bruke Monte Carlo-simuleringer gir mer stabile resultater samtidig som de fanger essensen av risiko i halen.

Monte Carlo-simuleringer, som diskutert i tidligere løsninger, er et utmerket alternativ for å overvinne fallgruvene ved direkte integrasjon. Ved å generere et stort sett med tilfeldige utvalg fra Inverse Weibull-fordelingen, kan du empirisk estimere de forventede tapene. Denne tilnærmingen er svært fleksibel og unngår behovet for kompleks matematisk integrasjon, noe som gjør den til en foretrukket metode når man arbeider med distribusjoner der tradisjonelle metoder mislykkes. Det er spesielt nyttig for data med tunge hale, der oppførselen til ekstreme hendelser kan være vanskelig å forutsi ved bruk av standardmodeller.