Naprawianie rozbieżności całkowej w wartości końcowej odwrotnego rozkładu Weibulla (TVaR)

Zrozumienie rozbieżności całkowej w obliczeniach TVaR

Wartość narażona na ryzyko (TVaR) jest kluczowym miernikiem w zarządzaniu ryzykiem, szczególnie w kontekście modelowania zdarzeń ekstremalnych. Jednak w przypadku korzystania z rozkładów takich jak odwrotność Weibulla obliczenie TVaR może czasami prowadzić do złożonych problemów, takich jak rozbieżność całkowa.

W tym artykule badamy konkretny problem napotkany podczas obliczania TVaR dla odwrotnego rozkładu Weibulla. Problem ten pojawia się podczas procesu całkowania i może prowadzić do błędów wskazujących, że całka może być rozbieżna.

Pomimo prób dostosowania parametrów, np. zwiększenia liczby podpodziałów w całkowaniu, błąd występuje nadal. Zrozumienie, dlaczego tak się dzieje i jak temu zaradzić, jest niezbędne dla każdego, kto pracuje z rozkładami ciężkoogonowymi w naukach aktuarialnych lub analizie ryzyka finansowego.

Przeanalizujemy problem, zidentyfikujemy możliwe przyczyny rozbieżności integralnej i podamy sugestie, jak skutecznie rozwiązać ten problem. Pod koniec tego artykułu będziesz wyposażony w praktyczne strategie przezwyciężenia podobnych wyzwań w obliczeniach TVaR.

Rozwiązywanie problemów z obliczeniami TVaR w odwrotnym rozkładzie Weibulla

Utworzone powyżej skrypty skupiają się na obliczaniu wartości zagrożonej ogona (TVaR) dla odwrotnego rozkładu Weibulla. TVaR służy do szacowania oczekiwanej straty w przypadku skrajnych zdarzeń ogonowych, co czyni go krytycznym miernikiem w zarządzaniu ryzykiem, szczególnie w takich dziedzinach, jak ubezpieczenia i finanse. Pierwszy skrypt wykorzystuje tradycyjną integrację numeryczną do obliczenia TVaR, co niestety prowadzi do błędu rozbieżność integralna. Dzieje się tak, ponieważ całka rozkładu ogonowego może stać się nieograniczona, szczególnie w przypadku rozkładów o grubych ogonach, takich jak odwrotność Weibulla.

Jednym z kluczowych poleceń w tym procesie jest zintegrować() funkcja, która wykonuje całkowanie numeryczne po ogonie rozkładu. Błąd pojawia się, gdy całkowanie rozciąga się do nieskończoności i tu leży problem. Aby temu zaradzić, próbujemy powiązać integrację za pomocą kwantyli pochodzących z odwrotnego rozkładu Weibulla. Polecenia takie jak qinvweibull() pomóc w tym zakresie, umożliwiając nam wyliczenie wartości zagrożonej (VaR) na różnych poziomach ufności (np. 70%, 80%, 90%). Używając tych kwantyli, chcemy kontrolować zakres całki i zmniejszać rozbieżność.

Drugie podejście przyjmuje inną trasę, używając Symulacja Monte Carlo. Zamiast polegać na integracji analitycznej, symuluje tysiące losowych wartości z odwrotnego rozkładu Weibulla za pomocą rinvweibull() rozkaz. Metoda ta pozwala na obejście problemu rozbieżności całkowej poprzez generowanie danych empirycznych i obliczanie TVaR w oparciu o średnią stratę powyżej progu VaR. Jest to szczególnie przydatne w przypadku rozkładów, które są trudne do zintegrowania analitycznego, ponieważ zapewnia bardziej elastyczną, aczkolwiek wymagającą obliczeń alternatywę.

Aby zapewnić niezawodność tych metod, wdrażane są również testy jednostkowe. The test_to() funkcja z przetestuj to pakiet służy do walidacji wyników symulacji Monte Carlo. Przeprowadzając te testy, weryfikujemy, czy symulowane wartości TVaR są logiczne i nieujemne. Ten proces testowania pomaga zapewnić, że rozwiązania nie tylko działają poprawnie w teorii, ale także dają prawidłowe wyniki w różnych środowiskach. Takie podejście sprawia, że ​​skrypty są modułowe i można je ponownie wykorzystać do podobnych obliczeń ryzyka w innych kontekstach.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Rozwiązanie problemów związanych z obliczeniami TVaR dla rozkładów o grubych ogonach

Podczas obliczania wartości zagrożonej ogona (TVaR) dla rozkładów z grubymi ogonami, takich jak odwrotny Weibulla, jednym z kluczowych wyzwań jest radzenie sobie z zachowaniem rozkładu w jego skrajnym ogonie. W tym miejscu może wystąpić rozbieżność całkowa, prowadząca do problemów obliczeniowych. Zasadniczy aspekt tego zagadnienia wynika z zachowania ogona przy bardzo wysokich kwantylach, gdzie niewielkie zmiany parametrów mogą prowadzić do znaczących różnic w obliczonej metryce ryzyka. Zrozumienie, jak radzić sobie z tymi ekstremalnymi sytuacjami, ma kluczowe znaczenie dla zapewnienia dokładnej oceny ryzyka.

Innym istotnym czynnikiem, który należy wziąć pod uwagę podczas pracy z obliczeniami TVaR, jest metoda obsługi nieskończonych górnych granic podczas całkowania. W praktyce wiele aplikacji do zarządzania ryzykiem ustala dużą, ale skończoną górną granicę, aby uniknąć problemów związanych z rozbieżnością. Takie podejście pomaga kontrolować obliczenia, szczególnie w sytuacjach, gdy znalezienie dokładnych rozwiązań matematycznych może być trudne. Metody takie jak ograniczanie całki lub stosowanie symulacji Monte Carlo pozwalają na uzyskanie bardziej stabilnych wyników, a jednocześnie pozwalają na uchwycenie istoty ryzyka w ogonie.

Symulacje Monte Carlo, o których mowa w poprzednich rozwiązaniach, są doskonałą alternatywą dla przezwyciężenia pułapek bezpośredniej integracji. Generując duży zbiór próbek losowych z odwrotnego rozkładu Weibulla, można empirycznie oszacować oczekiwane straty. Takie podejście jest bardzo elastyczne i pozwala uniknąć konieczności skomplikowanej integracji matematycznej, co czyni je preferowaną metodą podczas pracy z rozkładami, w których zawodzą tradycyjne metody. Jest to szczególnie przydatne w przypadku danych z wieloma szczegółami, gdzie zachowanie ekstremalnych zdarzeń może być trudne do przewidzenia przy użyciu standardowych modeli.