Fixarea divergenței integrale în valoarea de risc a cozii a distribuției Weibull inverse (TVaR)

Înțelegerea divergenței integrale în calculul TVaR

Tail Value at Risk (TVaR) este o măsură crucială în managementul riscului, mai ales în contextul modelării evenimentelor extreme. Cu toate acestea, atunci când se utilizează distribuții precum Inverse Weibull, calcularea TVaR poate duce uneori la probleme complexe, cum ar fi divergența integrală.

În acest articol, explorăm o problemă specifică întâlnită la calcularea TVaR pentru o distribuție Weibull inversă. Această problemă apare în timpul procesului de integrare și poate duce la erori care indică faptul că integrala poate fi divergentă.

În ciuda încercărilor de ajustare a parametrilor, cum ar fi creșterea numărului de subdiviziuni în integrare, eroarea persistă. Înțelegerea de ce se întâmplă acest lucru și cum să-l corecteze este esențială pentru oricine care lucrează cu distribuții grele în știința actuarială sau analiza riscului financiar.

Vom parcurge problema, vom identifica posibilele motive pentru divergența integrală și vom oferi sugestii despre cum să rezolvăm această problemă în mod eficient. Până la sfârșitul acestui articol, veți fi echipat cu strategii practice pentru a depăși provocări similare în calculele TVaR.

Rezolvarea problemelor de calcul TVaR în distribuția Weibull inversă

Scripturile create mai sus sunt axate pe calcularea valorii cozii la risc (TVaR) pentru o distribuție Weibull inversă. TVaR este folosit pentru a estima pierderea așteptată în evenimente extreme, ceea ce îl face o măsură critică în managementul riscului, în special în domenii precum asigurări și finanțe. Primul script folosește integrarea numerică tradițională pentru a calcula TVaR, ceea ce, din păcate, duce la o eroare din cauza divergenta integrala. Acest lucru se întâmplă deoarece integrala pentru distribuția de coadă poate deveni nelimitată, mai ales atunci când se ocupă de distribuții cu coadă grea, cum ar fi Inverse Weibull.

O comandă cheie în acest proces este integra() funcție, care realizează integrarea numerică peste coada distribuției. Eroarea apare atunci când integrarea se extinde la infinit și aici se află problema. Pentru a atenua acest lucru, încercăm să legăm integrarea folosind cuantile derivate din distribuția inversă Weibull. Comenzi precum qinvweibull() ajută în acest sens, permițându-ne să calculăm Valoarea la Risc (VaR) la diferite niveluri de încredere (de exemplu, 70%, 80%, 90%). Prin utilizarea acestor cuantile, ne propunem să controlăm intervalul integralei și să reducem divergența.

A doua abordare ia o cale diferită prin utilizarea Simulare Monte Carlo. În loc să se bazeze pe integrarea analitică, simulează mii de valori aleatorii din distribuția inversă Weibull folosind rinvweibull() comanda. Această metodă eludează problema divergenței integrale prin generarea de date empirice și calculul TVaR pe baza pierderii medii peste pragul VaR. Acest lucru este deosebit de util atunci când aveți de-a face cu distribuții care sunt dificil de integrat analitic, deoarece oferă o alternativă mai flexibilă, deși intensivă din punct de vedere computațional.

Pentru a asigura robustețea acestor metode, este implementată și testarea unitară. The test_that() funcția de la testa asta pachetul este utilizat pentru a valida rezultatele simulării Monte Carlo. Prin rularea acestor teste, verificăm că valorile TVaR simulate sunt logice și nenegative. Acest proces de testare ajută la asigurarea faptului că soluțiile nu numai că funcționează corect în teorie, ci produc și rezultate valide în diferite medii. Această abordare face scripturile modulare și reutilizabile pentru calcule de risc similare în alte contexte.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Abordarea provocărilor de calcul TVaR pentru distribuțiile cu coadă grea

Când se calculează valoarea cozii la risc (TVaR) pentru distribuțiile cu cozi grele, cum ar fi Inverse Weibull, o provocare cheie este să se ocupe de comportamentul distribuției în coada sa extremă. Aici poate apărea divergența integrală, ceea ce duce la probleme de calcul. Un aspect fundamental al acestei probleme provine din modul în care coada se comportă la cuantile foarte mari, unde mici variații ale parametrilor pot duce la diferențe semnificative în măsurarea riscului calculat. Înțelegerea modului de gestionare a acestor extreme este esențială pentru a asigura evaluări precise ale riscurilor.

Un alt factor relevant de luat în considerare atunci când lucrați cu calcule TVaR este metoda de gestionare a limitelor superioare infinite în timpul integrării. În termeni practici, multe aplicații de management al riscului stabilesc o limită superioară mare, dar finită, pentru a evita problemele legate de divergență. Această abordare ajută la controlul calculului, mai ales în situațiile în care soluțiile matematice exacte ar putea fi greu de obținut. Metode precum limitarea integralei sau aplicarea simulărilor Monte Carlo permit rezultate mai stabile, captând în același timp esența riscului în coadă.

Simulările Monte Carlo, așa cum sa discutat în soluțiile anterioare, sunt o alternativă excelentă pentru a depăși capcanele integrării directe. Prin generarea unui set mare de mostre aleatorii din distribuția inversă Weibull, puteți estima empiric pierderile așteptate. Această abordare este foarte flexibilă și evită necesitatea unei integrări matematice complexe, ceea ce o face o metodă preferată atunci când se lucrează cu distribuții în care metodele tradiționale eșuează. Este deosebit de util pentru datele grele, unde comportamentul evenimentelor extreme poate fi dificil de prezis folosind modele standard.