Исправление интегральной дивергенции в хвостовом значении обратного распределения Вейбулла под угрозой (TVaR)

Понимание интегральной дивергенции в расчете TVaR

Хвостовое значение риска (TVaR) является важнейшим показателем в управлении рисками, особенно в контексте моделирования экстремальных событий. Однако при использовании таких распределений, как обратное Вейбулла, вычисление TVaR иногда может привести к сложным проблемам, таким как интегральная дивергенция.

В этой статье мы исследуем конкретную проблему, возникающую при расчете TVaR для обратного распределения Вейбулла. Эта проблема возникает в процессе интегрирования и может привести к ошибкам, указывающим на то, что интеграл может расходиться.

Несмотря на попытки корректировки параметров, например, увеличения количества подразделений при интегрировании, ошибка сохраняется. Понимание того, почему это происходит и как это исправить, важно для всех, кто работает с распределениями с тяжелыми хвостами в актуарной науке или анализе финансовых рисков.

Мы разберемся в проблеме, выявим возможные причины интегрального расхождения и дадим предложения по эффективному решению этой проблемы. К концу этой статьи вы будете вооружены практическими стратегиями решения подобных проблем при вычислениях TVaR.

Решение проблем расчета TVaR в обратном распределении Вейбулла

Скрипты, созданные выше, ориентированы на вычисление хвостового значения риска (TVaR) для обратного распределения Вейбулла. TVaR используется для оценки ожидаемых потерь в случае экстремальных событий, что делает его критически важным показателем в управлении рисками, особенно в таких областях, как страхование и финансы. Первый скрипт использует традиционное численное интегрирование для вычисления TVaR, что, к сожалению, приводит к ошибке из-за интегральная дивергенция. Это происходит потому, что интеграл для хвостового распределения может стать неограниченным, особенно при работе с распределениями с тяжелым хвостом, такими как обратное Вейбулла.

Одной из ключевых команд в этом процессе является интегрировать() функция, которая выполняет численное интегрирование по хвосту распределения. Ошибка возникает, когда интегрирование простирается до бесконечности, и в этом-то и заключается проблема. Чтобы смягчить это, мы попытаемся ограничить интегрирование, используя квантили, полученные из обратного распределения Вейбулла. Такие команды, как цинввейбулл() помочь в этом отношении, позволяя нам рассчитать стоимость риска (VaR) при различных уровнях достоверности (например, 70%, 80%, 90%). Используя эти квантили, мы стремимся контролировать диапазон интеграла и уменьшить расхождение.

Второй подход использует другой путь, используя Моделирование Монте-Карло. Вместо того, чтобы полагаться на аналитическую интеграцию, он моделирует тысячи случайных значений из обратного распределения Вейбулла, используя ринввейбулл() команда. Этот метод позволяет обойти проблему интегральной дивергенции, генерируя эмпирические данные и вычисляя TVaR на основе средних потерь выше порога VaR. Это особенно полезно при работе с распределениями, которые сложно интегрировать аналитически, поскольку обеспечивает более гибкую, хотя и трудоемкую альтернативу.

Чтобы обеспечить надежность этих методов, также реализовано модульное тестирование. test_that() функция от проверить это Пакет используется для проверки результатов моделирования Монте-Карло. Выполняя эти тесты, мы проверяем, что смоделированные значения TVaR являются логическими и неотрицательными. Этот процесс тестирования помогает гарантировать, что решения не только работают правильно в теории, но и дают достоверные результаты в различных средах. Такой подход делает сценарии модульными и допускающими повторное использование для аналогичных расчетов риска в других контекстах.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Решение проблем расчета TVaR для распределений с тяжелым хвостом

При расчете хвостового значения риска (TVaR) для распределений с тяжелыми хвостами, таких как обратное Вейбулла, одной из ключевых проблем является поведение распределения в его крайнем хвосте. Именно здесь может возникнуть интегральная дивергенция, приводящая к вычислительным проблемам. Фундаментальный аспект этой проблемы связан с тем, как «хвост» ведет себя при очень высоких квантилях, когда небольшие изменения параметров могут привести к значительным различиям в рассчитанной метрике риска. Понимание того, как управлять этими крайностями, имеет решающее значение для обеспечения точной оценки рисков.

Еще одним важным фактором, который следует учитывать при работе с расчетами TVaR, является метод обработки бесконечных верхних границ во время интегрирования. На практике многие приложения по управлению рисками устанавливают большой, но конечный верхний предел, чтобы избежать проблем с расхождением. Этот подход помогает контролировать вычисления, особенно в ситуациях, когда получить точные математические решения сложно. Такие методы, как определение интеграла или применение моделирования Монте-Карло, позволяют получить более стабильные результаты, сохраняя при этом суть риска в хвосте.

Моделирование Монте-Карло, как обсуждалось в предыдущих решениях, является отличной альтернативой для преодоления ловушек прямой интеграции. Создав большой набор случайных выборок из обратного распределения Вейбулла, вы можете эмпирически оценить ожидаемые потери. Этот подход очень гибок и позволяет избежать необходимости сложной математической интеграции, что делает его предпочтительным методом при работе с распределениями, где традиционные методы неэффективны. Это особенно полезно для данных с тяжелыми хвостами, когда поведение экстремальных событий трудно предсказать с помощью стандартных моделей.