Stanovenie integrálnej divergencie v rizikovej hodnote chvosta inverznej Weibullovej distribúcie (TVaR)

Pochopenie integrálnej divergencie vo výpočte TVaR

Tail Value at Risk (TVaR) je kľúčovou metrikou pri riadení rizík, najmä v kontexte modelovania extrémnych udalostí. Pri použití distribúcií, ako je Inverse Weibull, však výpočet TVaR môže niekedy viesť k zložitým problémom, ako je integrálna divergencia.

V tomto článku skúmame špecifický problém, ktorý sa vyskytuje pri výpočte TVaR pre inverznú Weibullovu distribúciu. Tento problém vzniká počas integračného procesu a môže viesť k chybám naznačujúcim, že integrál môže byť divergentný.

Napriek pokusom o úpravu parametrov, ako je zvýšenie počtu pododdielov v integrácii, chyba pretrváva. Pochopenie, prečo sa to deje a ako to napraviť, je nevyhnutné pre každého, kto pracuje s ťažkými distribúciami v poistnej vede alebo analýze finančného rizika.

Prejdeme si problém, identifikujeme možné dôvody integrálnej divergencie a poskytneme návrhy, ako tento problém efektívne vyriešiť. Na konci tohto článku budete vybavení praktickými stratégiami na prekonanie podobných problémov vo výpočtoch TVaR.

Riešenie problémov s výpočtom TVaR v inverznom Weibullovom rozdelení

Vyššie vytvorené skripty sú zamerané na výpočet koncovej hodnoty v riziku (TVaR) pre inverznú Weibullovu distribúciu. TVaR sa používa na odhad očakávaných strát v extrémnych koncových udalostiach, čo z neho robí kritickú metriku v riadení rizík, najmä v oblastiach ako poistenie a financie. Prvý skript používa tradičnú numerickú integráciu na výpočet TVaR, čo bohužiaľ vedie k chybe integrálna divergencia. K tomu dochádza preto, že integrál pre koncové rozdelenie sa môže stať neobmedzeným, najmä pri riešení s ťažkými koncovými rozdeleniami, ako je inverzná Weibullova.

Jedným z kľúčových príkazov v tomto procese je integrovať () funkcia, ktorá vykonáva numerickú integráciu cez chvost distribúcie. Chyba nastáva, keď sa integrácia rozšíri do nekonečna, a tu je problém. Aby sme to zmiernili, pokúšame sa viazať integráciu pomocou kvantilov odvodených z inverznej Weibullovej distribúcie. Príkazy ako qinvweibull() pomôcť v tomto ohľade tým, že nám umožní vypočítať Value at Risk (VaR) na rôznych úrovniach spoľahlivosti (napr. 70 %, 80 %, 90 %). Pomocou týchto kvantilov sa snažíme kontrolovať rozsah integrálu a znižovať divergenciu.

Druhý prístup používa inú cestu Simulácia Monte Carlo. Namiesto spoliehania sa na analytickú integráciu simuluje tisíce náhodných hodnôt z inverzného Weibullovho rozdelenia pomocou rinvweibull() príkaz. Táto metóda obchádza problém integrálnej divergencie generovaním empirických údajov a výpočtom TVaR na základe priemernej straty nad prahovou hodnotou VaR. Toto je obzvlášť užitočné pri riešení distribúcií, ktoré je ťažké analyticky integrovať, pretože poskytuje flexibilnejšiu, aj keď výpočtovo náročnú alternatívu.

Na zabezpečenie robustnosti týchto metód sa implementuje aj testovanie jednotiek. The test_to() funkcia z otestovať to Balík sa používa na overenie výsledkov simulácie Monte Carlo. Spustením týchto testov overíme, že simulované hodnoty TVaR sú logické a nezáporné. Tento proces testovania pomáha zabezpečiť, aby riešenia fungovali nielen teoreticky správne, ale aby aj produkovali platné výsledky v rôznych prostrediach. Tento prístup robí skripty modulárnymi a opakovane použiteľnými pre podobné výpočty rizík v iných kontextoch.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Riešenie výziev na výpočet TVaR pre distribúcie s ťažkým chvostom

Pri výpočte hodnoty Tail Value at Risk (TVaR) pre distribúcie s ťažkými chvostmi, ako je Inverse Weibull, je jednou z kľúčových úloh riešenie správania sa distribúcie v jej extrémnom chvoste. Tu môže dôjsť k integrálnej divergencii, čo vedie k výpočtovým problémom. Základný aspekt tohto problému vyplýva z toho, ako sa chvost správa pri veľmi vysokých kvantiloch, kde malé odchýlky v parametroch môžu viesť k významným rozdielom vo vypočítanej metrike rizika. Pochopenie toho, ako zvládnuť tieto extrémy, je rozhodujúce pre zabezpečenie presného hodnotenia rizík.

Ďalším dôležitým faktorom, ktorý je potrebné zvážiť pri práci s výpočtami TVaR, je spôsob spracovania nekonečných horných hraníc počas integrácie. Z praktického hľadiska mnohé aplikácie na riadenie rizík nastavujú veľkú, ale konečnú hornú hranicu, aby sa predišlo problémom s divergenciou. Tento prístup pomáha kontrolovať výpočet, najmä v situáciách, kde môže byť ťažké odvodiť presné matematické riešenia. Metódy ako ohraničenie integrálu alebo aplikácia simulácií Monte Carlo umožňujú stabilnejšie výsledky a zároveň zachytávajú podstatu rizika v chvoste.

Simulácie Monte Carlo, ako bolo uvedené v predchádzajúcich riešeniach, sú vynikajúcou alternatívou na prekonanie nástrah priamej integrácie. Generovaním veľkého súboru náhodných vzoriek z inverzného Weibullovho rozdelenia môžete empiricky odhadnúť očakávané straty. Tento prístup je vysoko flexibilný a vyhýba sa potrebe komplexnej matematickej integrácie, čo z neho robí preferovanú metódu pri práci s distribúciami, kde tradičné metódy zlyhávajú. Je to užitočné najmä pre ťažké údaje, kde môže byť ťažké predpovedať správanie extrémnych udalostí pomocou štandardných modelov.