Popravljanje integralne divergence v tvegani repni vrednosti inverzne Weibullove porazdelitve (TVaR)

Razumevanje integralne divergence pri izračunu TVaR

Tvegana vrednost na repu (TVaR) je ključna metrika pri obvladovanju tveganja, zlasti v kontekstu modeliranja ekstremnih dogodkov. Vendar pa lahko pri uporabi distribucij, kot je inverzna Weibullova, izračun TVaR včasih povzroči zapletene težave, kot je integralna divergenca.

V tem članku raziskujemo specifično težavo, na katero naletimo pri izračunu TVaR za inverzno Weibullovo porazdelitev. Ta težava se pojavi med postopkom integracije in lahko vodi do napak, ki kažejo, da je integral lahko divergenten.

Kljub poskusom prilagajanja parametrov, kot je povečanje števila podrazdelkov v integraciji, napaka ostaja. Razumevanje, zakaj se to zgodi in kako to popraviti, je bistvenega pomena za vse, ki delajo z distribucijami s težkimi repi v aktuarski znanosti ali analizi finančnega tveganja.

Sprehodili se bomo skozi problem, ugotovili možne razloge za integralno razhajanje in podali predloge, kako to težavo učinkovito rešiti. Do konca tega članka boste opremljeni s praktičnimi strategijami za premagovanje podobnih izzivov pri izračunih TVaR.

Reševanje težav z izračunom TVaR v inverzni Weibullovi porazdelitvi

Zgoraj ustvarjeni skripti so osredotočeni na izračun tvegane repne vrednosti (TVaR) za inverzno Weibullovo porazdelitev. TVaR se uporablja za oceno pričakovane izgube v ekstremnih dogodkih na repu, zaradi česar je kritična metrika pri obvladovanju tveganja, zlasti na področjih, kot sta zavarovanje in finance. Prvi skript uporablja tradicionalno numerično integracijo za izračun TVaR, kar na žalost vodi do napake zaradi integralna divergenca. To se zgodi, ker lahko postane integral za distribucijo z repom neomejen, zlasti če imamo opravka s porazdelitvami s težkimi repi, kot je inverzna Weibullova.

Eden ključnih ukazov v tem procesu je integrirati () funkcijo, ki izvaja numerično integracijo nad repom distribucije. Napaka nastane, ko se integracija razširi v neskončnost, in tu je težava. Da bi to ublažili, poskušamo omejiti integracijo z uporabo kvantilov, izpeljanih iz inverzne Weibullove porazdelitve. Ukazi kot qinvweibull() v zvezi s tem pomagajo tako, da nam omogočajo izračun tvegane vrednosti (VaR) pri različnih stopnjah zaupanja (npr. 70 %, 80 %, 90 %). Z uporabo teh kvantilov želimo nadzorovati obseg integrala in zmanjšati divergenco.

Drugi pristop ima drugačno pot z uporabo Monte Carlo simulacija. Namesto da bi se zanašal na analitično integracijo, simulira na tisoče naključnih vrednosti iz inverzne Weibullove porazdelitve z uporabo rinvweibull() ukaz. Ta metoda se izogne ​​problemu integralne divergence z ustvarjanjem empiričnih podatkov in izračunom TVaR na podlagi srednje izgube nad pragom VaR. To je še posebej uporabno pri obravnavanju distribucij, ki jih je težko analitično integrirati, saj zagotavlja bolj prilagodljivo, čeprav računsko zahtevno alternativo.

Za zagotovitev robustnosti teh metod se izvaja tudi testiranje enot. The test_that() funkcijo od preizkusite to paket se uporablja za potrditev rezultatov simulacije Monte Carlo. Z izvedbo teh testov preverimo, ali so simulirane vrednosti TVaR logične in nenegativne. Ta postopek testiranja pomaga zagotoviti, da rešitve ne delujejo pravilno le v teoriji, ampak tudi dajejo veljavne rezultate v različnih okoljih. S tem pristopom so skripti modularni in jih je mogoče ponovno uporabiti za podobne izračune tveganja v drugih kontekstih.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Reševanje izzivov izračuna TVaR za distribucije z močnimi repi

Pri izračunu tvegane vrednosti repa (TVaR) za distribucije z težkimi repi, kot je inverzni Weibullov, je eden ključnih izzivov obravnavanje obnašanja distribucije v njenem skrajnem repu. Tu lahko pride do integralne divergence, ki vodi do računskih težav. Temeljni vidik tega vprašanja izhaja iz tega, kako se rep obnaša pri zelo visokih kvantilih, kjer lahko majhne razlike v parametrih povzročijo znatne razlike v izračunani meritvi tveganja. Razumevanje, kako obvladati te ekstreme, je ključnega pomena za zagotavljanje natančnih ocen tveganja.

Drug pomemben dejavnik, ki ga je treba upoštevati pri delu z izračuni TVaR, je metoda ravnanja z neskončnimi zgornjimi mejami med integracijo. V praksi številne aplikacije za obvladovanje tveganja nastavijo veliko, a končno zgornjo mejo, da se izognejo težavam z razhajanjem. Ta pristop pomaga nadzorovati izračun, zlasti v situacijah, ko je natančne matematične rešitve težko izpeljati. Metode, kot je omejevanje integrala ali uporaba simulacij Monte Carlo, omogočajo bolj stabilne rezultate, medtem ko še vedno zajamejo bistvo tveganja v repu.

Simulacije Monte Carlo, kot smo razpravljali v prejšnjih rešitvah, so odlična alternativa za premagovanje pasti neposredne integracije. Z ustvarjanjem velikega nabora naključnih vzorcev iz inverzne Weibullove porazdelitve lahko empirično ocenite pričakovane izgube. Ta pristop je zelo prilagodljiv in se izogiba potrebi po zapleteni matematični integraciji, zaradi česar je prednostna metoda pri delu z distribucijami, kjer tradicionalne metode ne uspejo. To je še posebej uporabno za podatke s težkim repom, kjer je obnašanje ekstremnih dogodkov težko napovedati s standardnimi modeli.