Фиксирање интегралне дивергенције у ризичној вредности репа инверзне Вејбулове дистрибуције (ТВаР)

Разумевање интегралне дивергенције у ТВаР израчунавању

Таил Валуе ат Риск (ТВаР) је кључна метрика у управљању ризиком, посебно у контексту моделирања екстремних догађаја. Међутим, када се користе дистрибуције као што је Инверсе Веибулл, израчунавање ТВаР понекад може довести до сложених проблема, као што је интегрална дивергенција.

У овом чланку истражујемо специфичан проблем који се јавља приликом израчунавања ТВаР-а за инверзну Вејбулову дистрибуцију. Овај проблем се јавља током процеса интеграције и може довести до грешака које указују на то да интеграл може бити дивергентан.

Упркос покушајима да се подесе параметри, као што је повећање броја подела у интеграцији, грешка и даље постоји. Разумевање зашто се то дешава и како то исправити је од суштинског значаја за свакога ко ради са тешким дистрибуцијама у актуарској науци или анализи финансијског ризика.

Проћи ћемо кроз проблем, идентификовати могуће разлоге за интегрално одступање и дати предлоге како да ефикасно решимо овај проблем. До краја овог чланка бићете опремљени практичним стратегијама за превазилажење сличних изазова у ТВаР прорачунима.

Решавање проблема са израчунавањем ТВаР-а у инверзној Вејбуловој дистрибуцији

Горе креиране скрипте су фокусиране на израчунавање ризичне вредности репа (ТВаР) за инверзну Вејбулову дистрибуцију. ТВаР се користи за процену очекиваног губитка у екстремним догађајима, што га чини критичном метриком у управљању ризиком, посебно у областима као што су осигурање и финансије. Прва скрипта користи традиционалну нумеричку интеграцију за израчунавање ТВаР, што нажалост доводи до грешке због интегрална дивергенција. Ово се дешава зато што интеграл за дистрибуцију репа може постати неограничен, посебно када се ради о дистрибуцијама са тешким репом као што је Инверзна Вејбулова.

Једна кључна команда у овом процесу је интегрисати() функција, која врши нумеричку интеграцију преко репа дистрибуције. Грешка настаје када се интеграција протеже до бесконачности, и ту лежи проблем. Да бисмо ово ублажили, покушавамо да ограничимо интеграцију користећи квантиле изведене из инверзне Вејбулове дистрибуције. Команде попут кинввеибулл() помоћи у овом погледу дозвољавајући нам да израчунамо вредност под ризиком (ВаР) на различитим нивоима поверења (нпр. 70%, 80%, 90%). Коришћењем ових квантила, циљ нам је да контролишемо опсег интеграла и смањимо дивергенцију.

Други приступ користи другачији пут користећи Монте Карло симулација. Уместо да се ослања на аналитичку интеграцију, он симулира хиљаде случајних вредности из инверзне Вејбулове дистрибуције користећи ринввеибулл() команда. Овај метод заобилази проблем интегралне дивергенције генерисањем емпиријских података и израчунавањем ТВаР на основу средњег губитка изнад ВаР прага. Ово је посебно корисно када се ради са дистрибуцијама које је тешко аналитички интегрисати, јер пружа флексибилнију, иако рачунарски интензивну алтернативу.

Да би се осигурала робусност ових метода, спроводи се и тестирање јединица. Тхе тест_тхат() функција из тесттхат пакет се користи за валидацију резултата Монте Карло симулације. Извођењем ових тестова потврђујемо да су симулиране ТВаР вредности логичне и да нису негативне. Овај процес тестирања помаже да се осигура да решења не само да функционишу исправно у теорији, већ и да дају валидне резултате у различитим окружењима. Овај приступ чини скрипте модуларним и поново употребљивим за сличне прорачуне ризика у другим контекстима.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Решавање ТВаР изазова израчунавања за дистрибуције тешког репа

Приликом израчунавања ризичне вредности репа (ТВаР) за дистрибуције са тешким реповима, као што је Инверзни Вејбул, један кључни изазов је суочавање са понашањем дистрибуције у њеном екстремном репу. Овде може доћи до интегралне дивергенције, што доводи до рачунарских проблема. Фундаментални аспект овог питања произилази из тога како се реп понаша на веома високим квантилима, где мале варијације у параметрима могу довести до значајних разлика у израчунатим метрикама ризика. Разумевање како да се управља овим екстремима је кључно за обезбеђивање тачних процена ризика.

Још један релевантан фактор који треба узети у обзир када радите са ТВаР прорачунима је метод руковања бесконачним горњим границама током интеграције. У пракси, многе апликације за управљање ризиком постављају велику, али коначну горњу границу како би се избегли проблеми са дивергенцијом. Овај приступ помаже у контроли израчунавања, посебно у ситуацијама када је тешко извести тачна математичка решења. Методе као што су ограничавање интеграла или примена Монте Карло симулација омогућавају стабилније резултате док се суштина ризика и даље задржава у репу.

Монте Карло симулације, као што је разматрано у претходним решењима, су одлична алтернатива за превазилажење замки директне интеграције. Генерисањем великог скупа насумичних узорака из инверзне Вејбулове дистрибуције, можете емпиријски проценити очекиване губитке. Овај приступ је веома флексибилан и избегава потребу за сложеном математичком интеграцијом, што га чини преферираним методом када се ради са дистрибуцијама где традиционалне методе не успевају. Посебно је корисно за податке са тешким репом, где понашање екстремних догађаја може бити тешко предвидети коришћењем стандардних модела.