Fixa integrerad divergens i den omvända Weibull-distributionens svansvärde vid risk (TVaR)

Förstå integraldivergens i TVaR-beräkning

Tail Value at Risk (TVaR) är ett avgörande mått i riskhantering, särskilt i samband med modellering av extrema händelser. Men när man använder distributioner som Inverse Weibull, kan beräkning av TVaR ibland leda till komplexa problem, såsom integral divergens.

I den här artikeln utforskar vi ett specifikt problem som uppstår vid beräkning av TVaR för en invers Weibull-fördelning. Det här problemet uppstår under integrationsprocessen och det kan leda till fel som indikerar att integralen kan vara divergerande.

Trots försök att justera parametrar, som att öka antalet underavdelningar i integrationen, kvarstår felet. Att förstå varför detta händer och hur man korrigerar det är viktigt för alla som arbetar med tunga fördelningar inom försäkringsteknisk vetenskap eller finansiell riskanalys.

Vi kommer att gå igenom problemet, identifiera möjliga orsaker till integrerad divergens och ge förslag på hur vi kan lösa problemet effektivt. I slutet av den här artikeln kommer du att vara utrustad med praktiska strategier för att övervinna liknande utmaningar i TVaR-beräkningar.

Lösning av TVaR-beräkningsproblem i omvänd Weibull-distribution

Skripten som skapats ovan är fokuserade på att beräkna svansvärde vid risk (TVaR) för en omvänd Weibull-distribution. TVaR används för att uppskatta den förväntade förlusten vid extrema svanshändelser, vilket gör det till ett kritiskt mått i riskhantering, särskilt inom områden som försäkring och finans. Det första skriptet använder traditionell numerisk integration för att beräkna TVaR, vilket tyvärr leder till ett fel p.g.a. integrerad divergens. Detta beror på att integralen för svansfördelningen kan bli obegränsad, speciellt när man har att göra med tungsvansfördelningar som Inverse Weibull.

Ett nyckelkommando i denna process är integrera() funktion, som utför numerisk integration över distributionens svans. Felet uppstår när integrationen sträcker sig till oändligheten, och det är här problemet ligger. För att mildra detta försöker vi binda integrationen med hjälp av kvantiler härledda från den omvända Weibull-fördelningen. Kommandon som qinvweibull() hjälp i detta avseende genom att tillåta oss att beräkna Value at Risk (VaR) vid olika konfidensnivåer (t.ex. 70 %, 80 %, 90 %). Genom att använda dessa kvantiler strävar vi efter att kontrollera integralens räckvidd och minska divergensen.

Den andra metoden tar en annan väg genom att använda Monte Carlo simulering. Istället för att förlita sig på analytisk integration, simulerar den tusentals slumpmässiga värden från den omvända Weibull-fördelningen med hjälp av rinvweibull() kommando. Denna metod kringgår problemet med integral divergens genom att generera empiriska data och beräkna TVaR baserat på medelförlusten över VaR-tröskeln. Detta är särskilt användbart när man hanterar distributioner som är svåra att integrera analytiskt, eftersom det ger ett mer flexibelt, om än beräkningsintensivt, alternativ.

För att säkerställa robustheten hos dessa metoder implementeras även enhetstester. De test_that() funktion från testa det paketet används för att validera resultaten av Monte Carlo-simuleringen. Genom att köra dessa tester verifierar vi att de simulerade TVaR-värdena är logiska och icke-negativa. Denna testprocess hjälper till att säkerställa att lösningarna inte bara fungerar korrekt i teorin utan också ger giltiga resultat i olika miljöer. Detta tillvägagångssätt gör skripten modulära och återanvändbara för liknande riskberäkningar i andra sammanhang.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Ta itu med TVaR-beräkningsutmaningar för tungsvansade distributioner

När man beräknar Tail Value at Risk (TVaR) för distributioner med tunga svansar, såsom Inverse Weibull, är en viktig utmaning att hantera fördelningens beteende i dess extrema svans. Det är här integral divergens kan uppstå, vilket leder till beräkningsproblem. En grundläggande aspekt av denna fråga härrör från hur svansen beter sig vid mycket höga kvantiler, där små variationer i parametrar kan leda till betydande skillnader i det beräknade riskmåttet. Att förstå hur man hanterar dessa extremer är avgörande för att säkerställa korrekta riskbedömningar.

En annan relevant faktor att tänka på när man arbetar med TVaR-beräkningar är metoden att hantera oändliga övre gränser under integration. Rent praktiskt sätter många riskhanteringstillämpningar en stor, men begränsad, övre gräns för att undvika problem med divergens. Detta tillvägagångssätt hjälper till att kontrollera beräkningen, särskilt i situationer där exakta matematiska lösningar kan vara svåra att härleda. Metoder som att avgränsa integralen eller tillämpa Monte Carlo-simuleringar möjliggör stabilare resultat samtidigt som de fångar essensen av risk i svansen.

Monte Carlo-simuleringar, som diskuterats i tidigare lösningar, är ett utmärkt alternativ för att övervinna fallgroparna med direkt integration. Genom att generera en stor uppsättning slumpmässiga urval från den omvända Weibull-fördelningen kan du empiriskt uppskatta de förväntade förlusterna. Detta tillvägagångssätt är mycket flexibelt och undviker behovet av komplex matematisk integration, vilket gör det till en föredragen metod när man arbetar med distributioner där traditionella metoder misslyckas. Det är särskilt användbart för data med tunga svansar, där beteendet för extrema händelser kan vara svårt att förutsäga med standardmodeller.