Ters Weibull Dağılımının Risk Altındaki Kuyruk Değerindeki (TVaR) İntegral Farklılığın Düzeltilmesi

TVaR Hesaplamasında İntegral Diverjansı Anlamak

Riske Maruz Kuyruk Değeri (TVaR), özellikle aşırı olayların modellenmesi bağlamında risk yönetiminde önemli bir ölçümdür. Ancak Ters Weibull gibi dağılımlar kullanıldığında TVaR'nin hesaplanması bazen integral ıraksama gibi karmaşık sorunlara yol açabilir.

Bu makalede, Ters Weibull dağılımı için TVaR hesaplanırken karşılaşılan belirli bir sorunu araştırıyoruz. Bu sorun entegrasyon işlemi sırasında ortaya çıkar ve integralin ıraksak olabileceğini gösteren hatalara yol açabilir.

Entegrasyondaki alt bölüm sayısını artırmak gibi parametreleri ayarlama girişimlerine rağmen hata devam ediyor. Bunun neden olduğunu ve nasıl düzeltileceğini anlamak, aktüerya bilimi veya finansal risk analizinde ağır kuyruklu dağılımlarla çalışan herkes için çok önemlidir.

Sorunun üzerinden geçeceğiz, bütünsel ayrılığın olası nedenlerini belirleyeceğiz ve bu sorunun etkili bir şekilde nasıl çözülebileceğine dair öneriler sunacağız. Bu makalenin sonunda TVaR hesaplamalarındaki benzer zorlukların üstesinden gelmek için pratik stratejilerle donatılmış olacaksınız.

Ters Weibull Dağıtımında TVaR Hesaplama Sorunlarını Çözme

Yukarıda oluşturulan komut dosyaları, Ters Weibull dağılımı için Riske Maruz Kuyruk Değerinin (TVaR) hesaplanmasına odaklanmıştır. TVaR, aşırı kuyruk olaylarında beklenen kaybı tahmin etmek için kullanılıyor ve bu da onu özellikle sigorta ve finans gibi alanlarda risk yönetiminde kritik bir ölçüm haline getiriyor. İlk komut dosyası, TVaR'yi hesaplamak için geleneksel sayısal entegrasyonu kullanır ve bu ne yazık ki aşağıdaki nedenlerden dolayı bir hataya yol açar: integral ıraksama. Bunun nedeni, özellikle Ters Weibull gibi ağır kuyruklu dağılımlarla uğraşırken kuyruk dağılımının integralinin sınırsız hale gelebilmesidir.

Bu süreçteki anahtar komutlardan biri entegre() dağıtımın kuyruğu üzerinde sayısal entegrasyon gerçekleştiren işlev. İntegral sonsuza uzandığında hata ortaya çıkar ve sorun da burada yatmaktadır. Bunu hafifletmek için, Ters Weibull dağılımından türetilen miktarları kullanarak entegrasyonu sınırlamaya çalışıyoruz. Gibi komutlar qinvweibull() Riske Maruz Değeri (VaR) çeşitli güven seviyelerinde (örn. %70, %80, %90) hesaplamamıza izin vererek bu konuda yardımcı olur. Bu nicelikleri kullanarak integralin aralığını kontrol etmeyi ve diverjansı azaltmayı hedefliyoruz.

İkinci yaklaşım ise farklı bir yol izliyor: Monte Carlo simülasyonu. Analitik entegrasyona güvenmek yerine, Ters Weibull dağılımından binlerce rastgele değeri simüle eder. rinvweibull() emretmek. Bu yöntem, ampirik veriler üreterek ve VaR eşiğinin üzerindeki ortalama kayba dayalı olarak TVaR'yi hesaplayarak integral sapma sorununu ortadan kaldırır. Bu, analitik olarak entegre edilmesi zor olan dağıtımlarla uğraşırken özellikle yararlıdır çünkü hesaplama açısından yoğun olsa da daha esnek bir alternatif sağlar.

Bu yöntemlerin sağlamlığını sağlamak için birim testi de uygulanır. test_that() işlevi bunu test et Paket Monte Carlo simülasyonunun sonuçlarını doğrulamak için kullanılır. Bu testleri çalıştırarak simüle edilen TVaR değerlerinin mantıksal olduğunu ve negatif olmadığını doğrularız. Bu test süreci, çözümlerin yalnızca teoride doğru çalışmasını sağlamakla kalmayıp, aynı zamanda farklı ortamlarda geçerli sonuçlar üretmesini de sağlamaya yardımcı olur. Bu yaklaşım, komut dosyalarını modüler hale getirir ve diğer bağlamlarda benzer risk hesaplamaları için yeniden kullanılabilir hale getirir.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Ağır Kuyruklu Dağıtımlar için TVaR Hesaplama Zorluklarının Ele Alınması

Ters Weibull gibi ağır kuyruklu dağıtımlar için Risk Altındaki Kuyruk Değeri'ni (TVaR) hesaplarken en önemli zorluklardan biri, dağıtımın aşırı kuyruğundaki davranışıyla ilgilenmektir. Bu noktada integral farklılığı ortaya çıkabilir ve hesaplama sorunlarına yol açabilir. Bu sorunun temel bir yönü, parametrelerdeki küçük değişikliklerin hesaplanan risk ölçüsünde önemli farklılıklara yol açabileceği çok yüksek yüzdelik dilimlerde kuyruğun nasıl davrandığından kaynaklanmaktadır. Bu uç noktaların nasıl yönetileceğini anlamak, doğru risk değerlendirmeleri sağlamak açısından kritik öneme sahiptir.

TVaR hesaplamalarıyla çalışırken dikkate alınması gereken diğer bir ilgili faktör, entegrasyon sırasında sonsuz üst sınırların ele alınma yöntemidir. Pratik anlamda, birçok risk yönetimi uygulaması, farklılıkla ilgili sorunlardan kaçınmak için büyük ancak sınırlı bir üst sınır belirler. Bu yaklaşım, özellikle kesin matematiksel çözümlerin türetilmesinin zor olabileceği durumlarda, hesaplamanın kontrol edilmesine yardımcı olur. İntegrali sınırlamak veya Monte Carlo simülasyonlarını uygulamak gibi yöntemler, kuyruktaki riskin özünü yakalamaya devam ederken daha istikrarlı sonuçlara olanak tanır.

Önceki çözümlerde tartışıldığı gibi Monte Carlo simülasyonları, doğrudan entegrasyonun tuzaklarının üstesinden gelmek için mükemmel bir alternatiftir. Ters Weibull dağılımından geniş bir rastgele örnek kümesi oluşturarak beklenen kayıpları ampirik olarak tahmin edebilirsiniz. Bu yaklaşım son derece esnektir ve karmaşık matematiksel entegrasyon ihtiyacını ortadan kaldırır, bu da onu geleneksel yöntemlerin başarısız olduğu dağılımlarla çalışırken tercih edilen bir yöntem haline getirir. Standart modeller kullanılarak olağanüstü olayların davranışının tahmin edilmesinin zor olabileceği ağır kuyruklu veriler için özellikle kullanışlıdır.