Виправлення інтегральної дивергенції хвостового значення оберненого розподілу Вейбулла під загрозою (TVaR)

Розуміння інтегральної розбіжності в обчисленні TVaR

Кінцеве значення ризику (TVaR) є ключовим показником в управлінні ризиками, особливо в контексті моделювання екстремальних подій. Однак при використанні таких розподілів, як зворотний розподіл Вейбула, обчислення TVaR іноді може призвести до складних проблем, таких як інтегральна розбіжність.

У цій статті ми досліджуємо конкретну проблему, яка виникає під час обчислення TVaR для зворотного розподілу Вейбулла. Ця проблема виникає під час процесу інтегрування та може призвести до помилок, які вказують на те, що інтеграл може розбіжності.

Незважаючи на спроби налаштувати параметри, наприклад збільшення кількості підрозділів в інтеграції, помилка залишається. Розуміння того, чому це відбувається та як це виправити, має важливе значення для тих, хто працює з розподілами з важкими хвостами в актуарній науці чи аналізі фінансових ризиків.

Ми розглянемо проблему, визначимо можливі причини інтегральної розбіжності та надамо пропозиції щодо ефективного вирішення цієї проблеми. До кінця цієї статті ви матимете практичні стратегії подолання подібних проблем у обчисленнях TVaR.

Вирішення проблем обчислення TVaR у зворотному розподілі Вейбулла

Створені вище сценарії зосереджені на обчисленні кінцевого значення ризику (TVaR) для зворотного розподілу Вейбулла. TVaR використовується для оцінки очікуваного збитку в екстремальних хвостових подіях, що робить його критичним показником в управлінні ризиками, особливо в таких сферах, як страхування та фінанси. Перший сценарій використовує традиційне числове інтегрування для обчислення TVaR, що, на жаль, призводить до помилки через інтегральна розбіжність. Це відбувається через те, що інтеграл хвостового розподілу може стати необмеженим, особливо коли йдеться про розподіли з важкими хвостами, такі як обернений розподіл Вейбулла.

Однією з ключових команд у цьому процесі є інтегрувати() функція, яка виконує чисельне інтегрування за хвостом розподілу. Помилка виникає, коли інтеграція розширюється до нескінченності, і саме тут криється проблема. Щоб пом’якшити це, ми намагаємося зв’язати інтеграцію за допомогою квантилів, отриманих із зворотного розподілу Вейбулла. Команди типу qinvweibull() допомогти в цьому відношенні, дозволяючи нам розраховувати вартість під ризиком (VaR) на різних рівнях довіри (наприклад, 70%, 80%, 90%). Використовуючи ці квантилі, ми прагнемо контролювати діапазон інтеграла та зменшити розбіжність.

Другий підхід використовує інший шлях, використовуючи Моделювання методом Монте-Карло. Замість того, щоб покладатися на аналітичну інтеграцію, він моделює тисячі випадкових значень зі зворотного розподілу Вейбулла за допомогою rinvweibull() команда. Цей метод дозволяє обійти проблему інтегральної розбіжності шляхом генерації емпіричних даних і обчислення TVaR на основі середнього значення втрати вище порогового значення VaR. Це особливо корисно при роботі з розподілами, які важко інтегрувати аналітично, оскільки це забезпечує більш гнучку, хоча і інтенсивну обчислювальну альтернативу.

Для забезпечення надійності цих методів також реалізовано модульне тестування. The test_that() функція від перевірити це пакет використовується для перевірки результатів моделювання методом Монте-Карло. Виконуючи ці тести, ми перевіряємо, чи змодельовані значення TVaR є логічними та невід’ємними. Цей процес тестування допомагає переконатися, що рішення не тільки правильно працюють теоретично, але й дають дійсні результати в різних середовищах. Цей підхід робить сценарії модульними та придатними для повторного використання для подібних розрахунків ризику в інших контекстах.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Вирішення проблем обчислення TVaR для розподілу з важкими хвостами

Під час обчислення хвостового значення під загрозою (TVaR) для розподілів із важкими хвостами, наприклад зворотного Вейбулла, однією з ключових проблем є робота з поведінкою розподілу в його крайньому хвості. Тут може виникнути інтегральна розбіжність, що призведе до проблем з обчисленням. Фундаментальний аспект цієї проблеми випливає з того, як хвіст поводиться на дуже високих квантилях, де невеликі варіації параметрів можуть призвести до значних відмінностей у розрахованій метриці ризику. Розуміння того, як керувати цими крайнощами, має вирішальне значення для забезпечення точної оцінки ризиків.

Іншим важливим фактором, який слід враховувати під час роботи з обчисленнями TVaR, є метод обробки нескінченних верхніх меж під час інтегрування. На практиці багато програм управління ризиками встановлюють велику, але обмежену верхню межу, щоб уникнути проблем із розбіжністю. Цей підхід допомагає контролювати обчислення, особливо в ситуаціях, коли може бути важко отримати точні математичні рішення. Такі методи, як обмеження інтеграла або застосування моделювання Монте-Карло, дозволяють отримувати більш стабільні результати, водночас фіксуючи суть ризику в хвості.

Моделювання Монте-Карло, як обговорювалося в попередніх рішеннях, є чудовою альтернативою для подолання пасток прямої інтеграції. Згенерувавши великий набір випадкових вибірок із зворотного розподілу Вейбулла, ви можете емпірично оцінити очікувані втрати. Цей підхід є дуже гнучким і не потребує складної математичної інтеграції, що робить його кращим методом при роботі з розподілами, де традиційні методи не дають змоги. Це особливо корисно для масивних даних, де поведінку екстремальних подій важко передбачити за допомогою стандартних моделей.