Inverse Weibull Distribution's Tail Value at Risk (TVaR) میں انٹیگرل ڈائیورجن کو درست کرنا

TVaR کیلکولیشن میں انٹیگرل ڈائیورجن کو سمجھنا

خطرے کے انتظام میں ٹیل ویلیو (TVaR) ایک اہم میٹرک ہے، خاص طور پر انتہائی واقعات کی ماڈلنگ کے تناظر میں۔ تاہم، Inverse Weibull جیسی تقسیم کا استعمال کرتے وقت، TVaR کا حساب لگانا بعض اوقات پیچیدہ مسائل کا باعث بن سکتا ہے، جیسے کہ انٹیگرل ڈائیورجن۔

اس مضمون میں، ہم ایک الٹا ویبل ڈسٹری بیوشن کے لیے TVaR کا حساب لگاتے وقت درپیش ایک مخصوص مسئلے کا پتہ لگاتے ہیں۔ یہ مسئلہ انضمام کے عمل کے دوران پیدا ہوتا ہے، اور یہ غلطیوں کا باعث بن سکتا ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ انضمام مختلف ہو سکتا ہے۔

پیرامیٹرز کو ایڈجسٹ کرنے کی کوششوں کے باوجود، جیسے انضمام میں ذیلی تقسیم کی تعداد میں اضافہ، غلطی برقرار ہے۔ یہ سمجھنا کہ ایسا کیوں ہوتا ہے اور اسے کیسے درست کیا جائے، ایکچوریل سائنس یا مالیاتی رسک کے تجزیہ میں ہیوی ٹیلڈ ڈسٹری بیوشن کے ساتھ کام کرنے والے ہر فرد کے لیے ضروری ہے۔

ہم اس مسئلے کا جائزہ لیں گے، انضمام کی ممکنہ وجوہات کی نشاندہی کریں گے، اور اس مسئلے کو مؤثر طریقے سے حل کرنے کے بارے میں تجاویز فراہم کریں گے۔ اس مضمون کے اختتام تک، آپ TVaR کمپیوٹنگ میں اسی طرح کے چیلنجوں پر قابو پانے کے لیے عملی حکمت عملیوں سے لیس ہو جائیں گے۔

Inverse Weibull ڈسٹری بیوشن میں TVaR کیلکولیشن کے مسائل کو حل کرنا

اوپر بنائے گئے اسکرپٹس ایک الٹا ویبل ڈسٹری بیوشن کے لیے ٹیل ویلیو ایٹ رسک (TVaR) کا حساب لگانے پر مرکوز ہیں۔ TVaR کا استعمال انتہائی ٹیل واقعات میں متوقع نقصان کا تخمینہ لگانے کے لیے کیا جاتا ہے، جو اسے رسک مینجمنٹ میں ایک اہم میٹرک بناتا ہے، خاص طور پر انشورنس اور فنانس جیسے شعبوں میں۔ پہلا اسکرپٹ TVaR کی گنتی کرنے کے لیے روایتی عددی انضمام کا استعمال کرتا ہے، جس کی وجہ سے بدقسمتی سے غلطی ہوتی ہے۔ انضمام انحراف. ایسا اس لیے ہوتا ہے کیونکہ پونچھ کی تقسیم کے لیے انٹیگرل غیر محدود ہو سکتا ہے، خاص طور پر جب انورس ویبل جیسی بھاری دم والی تقسیم سے نمٹنا ہو۔

اس عمل میں ایک اہم کمانڈ ہے۔ انضمام () فنکشن، جو تقسیم کی دم پر عددی انضمام انجام دیتا ہے۔ غلطی اس وقت پیدا ہوتی ہے جب انضمام لامحدودیت تک پھیل جاتا ہے، اور یہیں پر مسئلہ ہے۔ اس کو کم کرنے کے لیے، ہم Inverse Weibull ڈسٹری بیوشن سے اخذ کردہ کوانٹائل کا استعمال کرتے ہوئے انضمام کو پابند کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ جیسے احکامات qinvweibull() اس سلسلے میں ہمیں اعتماد کی مختلف سطحوں (مثلاً 70%، 80%، 90%) پر ویلیو ایٹ رسک (VaR) کا حساب لگانے کی اجازت دے کر مدد کریں۔ ان کوانٹائلز کا استعمال کرکے، ہمارا مقصد انٹیگرل کی حد کو کنٹرول کرنا اور انحراف کو کم کرنا ہے۔

دوسرا نقطہ نظر استعمال کرکے ایک مختلف راستہ اختیار کرتا ہے۔ مونٹی کارلو تخروپن. تجزیاتی انضمام پر بھروسہ کرنے کے بجائے، یہ انورس ویبل ڈسٹری بیوشن سے ہزاروں بے ترتیب قدروں کی تقلید کرتا ہے rinvweibull() حکم یہ طریقہ تجرباتی ڈیٹا تیار کرکے اور VaR حد سے اوپر کے اوسط نقصان کی بنیاد پر TVaR کا حساب لگا کر انضمام کے انحراف کے مسئلے کو روکتا ہے۔ یہ خاص طور پر مفید ہے جب ان تقسیموں سے نمٹنے کے لیے جنہیں تجزیاتی طور پر ضم کرنا مشکل ہے، کیونکہ یہ زیادہ لچکدار فراہم کرتا ہے، اگرچہ کمپیوٹیشنل طور پر شدید، متبادل ہے۔

ان طریقوں کی مضبوطی کو یقینی بنانے کے لیے، یونٹ ٹیسٹنگ بھی لاگو کی جاتی ہے۔ دی test_that() سے فنکشن ٹیسٹ کہ پیکیج مونٹی کارلو سمولیشن کے نتائج کی توثیق کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ان ٹیسٹوں کو چلا کر، ہم تصدیق کرتے ہیں کہ مصنوعی TVaR اقدار منطقی اور غیر منفی ہیں۔ جانچ کا یہ عمل اس بات کو یقینی بنانے میں مدد کرتا ہے کہ حل نہ صرف تھیوری میں درست طریقے سے کام کرتے ہیں بلکہ مختلف ماحول میں درست نتائج بھی پیش کرتے ہیں۔ یہ نقطہ نظر اسکرپٹ کو ماڈیولر اور دوسرے سیاق و سباق میں اسی طرح کے خطرے کے حساب کتاب کے لیے دوبارہ قابل استعمال بناتا ہے۔

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

ہیوی ٹیلڈ ڈسٹری بیوشنز کے لیے TVaR کیلکولیشن چیلنجز کو ایڈریس کرنا

بھاری دم والی تقسیم کے لیے ٹیل ویلیو ایٹ رسک (TVaR) کا حساب لگاتے وقت، جیسے Inverse Weibull، ایک اہم چیلنج اس کی انتہائی دم میں تقسیم کے رویے سے نمٹنا ہے۔ یہ وہ جگہ ہے جہاں اٹوٹ ڈورجن ہو سکتا ہے، جس سے کمپیوٹیشنل مسائل پیدا ہوتے ہیں۔ اس مسئلے کا ایک بنیادی پہلو اس بات سے پیدا ہوتا ہے کہ دم کس طرح بہت زیادہ مقدار میں برتاؤ کرتی ہے، جہاں پیرامیٹرز میں چھوٹے تغیرات حسابی رسک میٹرک میں اہم فرق کا باعث بن سکتے ہیں۔ خطرے کی درست تشخیص کو یقینی بنانے کے لیے ان انتہاؤں کو کس طرح منظم کرنا ہے اس کو سمجھنا بہت ضروری ہے۔

TVaR کیلکولیشنز کے ساتھ کام کرتے وقت غور کرنے کا ایک اور متعلقہ عنصر انضمام کے دوران لامحدود اوپری حدود کو سنبھالنے کا طریقہ ہے۔ عملی طور پر، بہت سے رسک مینجمنٹ ایپلی کیشنز انحراف کے مسائل سے بچنے کے لیے ایک بڑی، لیکن محدود، بالائی حد مقرر کرتی ہیں۔ یہ نقطہ نظر حساب کو کنٹرول کرنے میں مدد کرتا ہے، خاص طور پر ایسے حالات میں جہاں درست ریاضیاتی حل نکالنا مشکل ہو سکتا ہے۔ انٹیگرل کو باؤنڈنگ کرنے یا مونٹی کارلو سمیلیشنز کو لاگو کرنے جیسے طریقے مزید مستحکم نتائج کی اجازت دیتے ہیں جبکہ دم میں خطرے کے جوہر کو بھی پکڑتے ہیں۔

مونٹی کارلو سمولیشنز، جیسا کہ پچھلے حلوں میں زیر بحث آیا ہے، براہ راست انضمام کے نقصانات پر قابو پانے کے لیے ایک بہترین متبادل ہیں۔ Inverse Weibull ڈسٹری بیوشن سے بے ترتیب نمونوں کا ایک بڑا مجموعہ بنا کر، آپ تجرباتی طور پر متوقع نقصانات کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ یہ نقطہ نظر انتہائی لچکدار ہے اور پیچیدہ ریاضیاتی انضمام کی ضرورت سے گریز کرتا ہے، جس سے تقسیم کے ساتھ کام کرتے وقت یہ ایک ترجیحی طریقہ بن جاتا ہے جہاں روایتی طریقے ناکام ہوتے ہیں۔ یہ خاص طور پر بھاری پونچھ والے ڈیٹا کے لیے مفید ہے، جہاں معیاری ماڈلز کے استعمال سے انتہائی واقعات کے رویے کا اندازہ لگانا مشکل ہو سکتا ہے۔