Sửa lỗi phân kỳ tích phân trong giá trị đuôi của phân phối Weibull nghịch đảo (TVaR)

Hiểu sự phân kỳ tích phân trong tính toán TVaR

Giá trị rủi ro cuối cùng (TVaR) là một thước đo quan trọng trong quản lý rủi ro, đặc biệt là trong bối cảnh lập mô hình các sự kiện cực đoan. Tuy nhiên, khi sử dụng các phân phối như Weibull nghịch đảo, việc tính toán TVaR đôi khi có thể dẫn đến các vấn đề phức tạp, chẳng hạn như phân kỳ tích phân.

Trong bài viết này, chúng ta khám phá một vấn đề cụ thể gặp phải khi tính toán TVaR cho phân phối Weibull nghịch đảo. Vấn đề này phát sinh trong quá trình lấy tích phân và có thể dẫn đến lỗi chỉ ra rằng tích phân có thể phân kỳ.

Mặc dù đã cố gắng điều chỉnh các tham số, chẳng hạn như tăng số lượng phân mục trong tích hợp, lỗi vẫn tồn tại. Hiểu lý do tại sao điều này xảy ra và cách khắc phục nó là điều cần thiết đối với bất kỳ ai làm việc với các phân phối đuôi lớn trong khoa học tính toán bảo hiểm hoặc phân tích rủi ro tài chính.

Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề, xác định các lý do có thể dẫn đến sự phân kỳ tích phân và đưa ra các đề xuất về cách giải quyết vấn đề này một cách hiệu quả. Đến cuối bài viết này, bạn sẽ được trang bị các chiến lược thực tế để vượt qua những thách thức tương tự trong tính toán TVaR.

Giải quyết các vấn đề tính toán TVaR trong phân phối Weibull nghịch đảo

Các tập lệnh được tạo ở trên tập trung vào việc tính toán Giá trị đuôi có nguy cơ (TVaR) cho phân phối Weibull nghịch đảo. TVaR được sử dụng để ước tính tổn thất dự kiến ​​trong các sự kiện cực đoan, khiến nó trở thành thước đo quan trọng trong quản lý rủi ro, đặc biệt là trong các lĩnh vực như bảo hiểm và tài chính. Tập lệnh đầu tiên sử dụng tích hợp số truyền thống để tính toán TVaR, điều này không may dẫn đến lỗi do phân kỳ tích phân. Điều này xảy ra do tích phân cho phân bố đuôi có thể trở nên không giới hạn, đặc biệt khi xử lý các phân phối đuôi nặng như Nghịch đảo Weibull.

Một lệnh quan trọng trong quá trình này là tích hợp() hàm thực hiện tích hợp số trên phần đuôi của phân phối. Lỗi phát sinh khi tích hợp mở rộng đến vô cùng và đây là vấn đề nằm ở đó. Để giảm thiểu điều này, chúng tôi cố gắng giới hạn việc tích hợp bằng cách sử dụng các lượng tử xuất phát từ phân phối Weibull nghịch đảo. Các lệnh như qinvweibull() về mặt này bằng cách cho phép chúng tôi tính toán Giá trị rủi ro (VaR) ở nhiều mức độ tin cậy khác nhau (ví dụ: 70%, 80%, 90%). Bằng cách sử dụng các lượng tử này, chúng tôi mong muốn kiểm soát phạm vi của tích phân và giảm độ phân kỳ.

Cách tiếp cận thứ hai có một lộ trình khác bằng cách sử dụng Mô phỏng Monte Carlo. Thay vì dựa vào tích hợp phân tích, nó mô phỏng hàng nghìn giá trị ngẫu nhiên từ phân phối Weibull nghịch đảo bằng cách sử dụng rinvweibull() yêu cầu. Phương pháp này tránh được vấn đề phân kỳ tích phân bằng cách tạo ra dữ liệu thực nghiệm và tính toán TVaR dựa trên tổn thất trung bình trên ngưỡng VaR. Điều này đặc biệt hữu ích khi xử lý các phân phối khó tích hợp về mặt phân tích, vì nó cung cấp một giải pháp thay thế linh hoạt hơn, mặc dù cần tính toán chuyên sâu hơn.

Để đảm bảo tính mạnh mẽ của các phương pháp này, thử nghiệm đơn vị cũng được thực hiện. các test_that() chức năng từ kiểm tra cái đó gói được sử dụng để xác nhận kết quả mô phỏng Monte Carlo. Bằng cách chạy các thử nghiệm này, chúng tôi xác minh rằng các giá trị TVaR được mô phỏng là hợp lý và không âm. Quá trình thử nghiệm này giúp đảm bảo rằng các giải pháp không chỉ hoạt động chính xác về mặt lý thuyết mà còn tạo ra kết quả hợp lệ trên các môi trường khác nhau. Cách tiếp cận này làm cho các tập lệnh trở thành mô-đun và có thể tái sử dụng để tính toán rủi ro tương tự trong các bối cảnh khác.

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
install.packages("fitdistrplus")
library(fitdistrplus)
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
VarinvW1 <- qinvweibull(0.7, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
VarinvW3 <- qinvweibull(0.9, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
integrand2 <- function(x) { x * dinvweibull(x, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2]) }
Tvarinv1 <- (1 / (1 - 0.7)) * integrate(integrand2, VarinvW1, VarinvW3, subdivisions = 1000)$value
print(Tvarinv1)
# Bounded integration using a large but finite upper limit to avoid divergence

install.packages("evd")
library(evd)
data(lossalae)
attach(lossalae)
x <- ALAE / 1000
library(actuar)
W.INV <- fitdist(x, "invweibull")
n_sim <- 100000  # Number of simulations
sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
print(tvar_70)
# Monte Carlo approach avoids analytical integration issues

test_that("Monte Carlo TVaR calculation works", {
   n_sim <- 100000
   sim_data <- rinvweibull(n_sim, shape = W.INV$estimate[1], scale = W.INV$estimate[2])
   var_70 <- quantile(sim_data, 0.7)
   tvar_70 <- mean(sim_data[sim_data > var_70])
   expect_true(tvar_70 > 0)
})

Giải quyết các thách thức tính toán TVaR cho phân phối đuôi nặng

Khi tính Giá trị đuôi có nguy cơ (TVaR) cho các phân phối có đuôi nặng, chẳng hạn như Weibull nghịch đảo, một thách thức chính là xử lý hành vi của phân phối ở đuôi cực đoan của nó. Đây là nơi có thể xảy ra sự phân kỳ tích phân, dẫn đến các vấn đề tính toán. Khía cạnh cơ bản của vấn đề này bắt nguồn từ cách phần đuôi hoạt động ở các lượng tử rất cao, trong đó những biến đổi nhỏ trong các tham số có thể dẫn đến những khác biệt đáng kể trong thước đo rủi ro được tính toán. Hiểu cách quản lý những thái cực này là rất quan trọng để đảm bảo đánh giá rủi ro chính xác.

Một yếu tố liên quan khác cần xem xét khi làm việc với các phép tính TVaR là phương pháp xử lý các giới hạn trên vô hạn trong quá trình tích hợp. Trong thực tế, nhiều ứng dụng quản lý rủi ro đặt ra giới hạn trên lớn nhưng hữu hạn để tránh các vấn đề về phân kỳ. Cách tiếp cận này giúp kiểm soát việc tính toán, đặc biệt trong các tình huống mà khó có thể tìm được giải pháp toán học chính xác. Các phương pháp như giới hạn tích phân hoặc áp dụng mô phỏng Monte Carlo cho phép thu được kết quả ổn định hơn trong khi vẫn nắm bắt được bản chất của rủi ro ở phần đuôi.

Mô phỏng Monte Carlo, như đã thảo luận trong các giải pháp trước đây, là một giải pháp thay thế tuyệt vời để khắc phục những cạm bẫy của việc tích hợp trực tiếp. Bằng cách tạo ra một tập hợp lớn các mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Weibull nghịch đảo, bạn có thể ước tính tổn thất dự kiến ​​theo kinh nghiệm. Cách tiếp cận này rất linh hoạt và tránh được nhu cầu tích hợp toán học phức tạp, khiến nó trở thành một phương pháp được ưa thích khi làm việc với các phân phối mà các phương pháp truyền thống không thành công. Nó đặc biệt hữu ích cho những dữ liệu phức tạp, trong đó hành vi của các sự kiện cực đoan có thể khó dự đoán bằng cách sử dụng các mô hình tiêu chuẩn.